볼링공이 점프없이 경사면을 내려갈 최대속력은?

내려가는 경사면로가 있는 바닥을 굴러가는 볼링공(반지름 $R$)의 속력이 너무 크면 경사로 입구에서 점프를 할 수 있다. 이런 점프가 일어나지 않을 최대속력은? 볼링공은 미끄러짐이 없이 구르기만 한다.

힌트: 볼링공이 경사로 입구의 뾰족한 부분에 튀지 않는 경우 그 점을 기준으로 질량중심은 원운동을 하게 된다. 수직에 대한 중심의 회전각이 $\theta$일 때 공의 속력을 $v$라면 공의 회전운동에 관여하는 구심력은 수직항력과 중력 중심성분이므로

$$\sum F_c=mg\cos \theta -N=\frac{m{v}^2}{R}$$ 

공의 속력은 역학적 에너지 보존을 이용하면 (공의 운동에너지: $K=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{7}{10}m{v}^2$)

$$\frac{7}{10}m{v}^2-\frac{7}{10}m{v}_0^2=mgR(1-\cos \theta )$$

$$\to v^2=v_0^2+\frac{10}{7}gR(1-\cos \theta )$$

따라서 수직항력은 $$N=\frac{mg}{7}(17\cos \theta -10)-\frac{m{v}_0^2}{R}$$

점프하지 않으려면 $N\ge 0$이어야 하므로 

$$v_0\le \sqrt{\frac{gR}{7}(17\cos \theta -10)}$$

이 식이 $0\le \theta \le {\theta }_0$에 대해서 성립해야 하므로 

$$v_0\le \sqrt{\frac{gR}{7}(17\cos {\theta }_0-10)}$$