사람의 속도는?

무거운 줄이 도르래에 걸쳐있고, 한쪽 끝에는 사람이 매달려 있다. 사람이 갑자기 줄에 대한 상대속도 $v_{rel}$로 위쪽으로 올라간다. 이때 사람의 지상에 대한 속도는? 줄의 길이는 $L$, 단위길이당 밀도는 $\lambda$, 그리고 사람의 질량은 $M$이다. 

사람이 올라가기 위해서는 줄에 힘(충격량=$J$)을 주어야 하고, 이 힘의 반작용으로 위로 올라간다. 사람이 준 힘 때문에 줄은 아래로 움직이게 된다. 

사람의 운동량 변화(위쪽 =+) $Mv-0=J$

줄의 운동량 변화(아래쪽=+) $(\lambda L)u-0=J$

따라서 $Mv=\lambda Lu$이고, $v_{rel}=v-(-u)=v+u$이므로 

$$v=\frac{\lambda L}{M+\lambda L}{v}_{rel}$$

Q2: 사람이 올라가기 시작하면 사람쪽 줄의 무게가 더 크므로 더 빨리 내려가려고 할 것이다. 따라서 일정한 시간이 지나면 지상에서 볼 때 사람은 더 이상 위로 올라가지 못하게 된다. 그때가 언제인가?

이를 해결하기 위해 사람과 줄의 운동방정식을 만들자. 바닥에서 잰 사람의 높이를 $y$(위쪽+), 도르래에서 잰 왼쪽 줄의 끝을 $y_1$(아래+), 오른쪽 줄의 끝을 $y_2$(아래+)라면, $y_1+y_2=L=const$이다. 그리고 사람이 줄로 부터 받는 힘을 $f(t)$라면 사람의 운동방정식은 

$$M{y}^{″}(t)=f(t)-Mg$$

그리고 줄의 운동은(아래쪽+, 줄의 총질량 $m=\lambda L$)

$$m{y}_1^{″}(t)=\lambda (y_1(t)-y_2(t))g+f(t)=2\lambda g{y}_1(t)-mg+f(t)$$

상대속도가 일정하므로 $y(t)$와 $y_1(t)$사이의 관계를 만들 수 있다. $$v_{rel}=y^{\prime }(t)+y_1^{\prime }(t)=const$$$$\to y_1^{″}(t)=-y^{″}(t)$$$$\text{and}y(t)+y_1(t)=v_{rel}t+C$$

상수 $C$는 줄과 사람이 처음 평형상태였음을 이용하면 $\lambda y_2(0)g=\lambda y_1(0)g+Mg$ 에서 

$$y_1(0)=\frac{m-M}{2\lambda }$$ 또 사람의 출발높이가 $y(0)=0$이므로 

$$C=y_1(0)=\frac{m-M}{2\lambda }$$

이제 앞에서 얻은 방정식을 이용해서 $y(t)$의 운동방정식에서 $f(t)$을 소거하면

$$\frac{m+M}{2\lambda g}{y}^{″}(t)-y(t)=-v_{rel}t$$

이 방정식의 일반해는 

$$y(t)=A\cosh (\alpha t)+B\sinh (\alpha t)+v_{rel}t,{\alpha }^2=\frac{2\lambda g}{m+M}$$

인데, $t=0$일 때 $y(0)=0$이므로 $A=0$이고, $y^{\prime }(0)=\frac{m}{m+M}{v}_{rel}$ 였으므로 $B=-\frac{1}{\alpha }\frac{M}{m+M}{v}_{rel}$. 따라서 사람의 높이는 

$$y(t)=v_{rel}(t-\frac{1}{\alpha }\frac{M}{m+M}\sinh (\alpha t))$$

사람이 더 이상 높이 올라갈 수 없는 상태가 되면 속도 $y^{\prime }(t)=0$이어야 한다. 출발에서 그때까지 걸린 시간은

 $$y^{\prime }(t)=v_{rel}(1-\frac{M}{m+M}\cosh (\alpha t))=0$$

$$\to t=\sqrt{\frac{m+M}{2\lambda g}}{\cosh }^{-1}\frac{m+M}{m}$$