Geometry & Recognition

반지름 $R$인 원형트랙을 돌기 위해서 정지상태에서 출발하는 오토바이가 있다. 원형트랙을 미끄러지지 않고 돌 수 있는 최대속력에 도달하기 위해서는 최소한 얼마나 움직여야 하는가? 오토바이와 트랙과의 정지마찰계수는 $\mu$이다.

힌트: 오토바이가 받을 수 있는 최대힘은 트랙과의 정지마찰력이다. 따라서 가능한 최대가속도는 $a=\mu g$이다. 그런데 오토바이는 일정한 속력에 도달하기 전에는 원형트랙을 돌기 때문에 생기는 구심가속도($a_c=v^2/R$) 이외에도 속력을 증가시키기 위해서 접선가속도($a_t=dv/dt$)도 필요하다. 출발시점에서는 접선가속도만 있고 최대속력에 도달하면 구심가속도만 있게 된다. 따라서 최대속력은 $\mu g=v_{\text{max}}^2/R$로 구해진다. 접선방향과 가속도 벡터의 사이각을 $\varphi$라면 처음에서는 접선가속도 성분만 있으므로 $\varphi =0$이고, 최대속력에 도달하면 구심가속도 성분만 있으므로 $\varphi =\frac{\pi }{2}$가 된다.

$$a_t=\frac{dv}{dt}=\mu g\cos \varphi ,a_c=\frac{v^2}{R}=\mu g\sin \varphi$$두 번째 식을 미분하면 $$\mu g\cos \varphi \frac{d\varphi }{dt}=\frac{2v}{R}\frac{dv}{dt}$$이므로 $$\frac{d\varphi }{dt}=\frac{2v}{R}=2\omega =2\frac{d\theta }{dt}$$여기서 $\omega$는 각속도이고, $\theta$는 회전각이다. 이 식을 출발에서 최대속력에 도달할 시간까지 적분하면$$\mathrm{\Delta }\varphi =2\mathrm{\Delta }\theta \to \mathrm{\Delta }\theta =\frac{\mathrm{\Delta }\varphi }{2}=\frac{\pi }{2}$$이므로 출발에서 최대속력에 이르는 동안 움직여야 할 호의 최소길이는 $$\mathrm{\Delta }s=R\mathrm{\Delta }\theta =\frac{\pi R}{4}$$ 

그림과 같이 마찰이 없는 평면에 생긴 구멍을 통해 두 물체 A($m$), B($M$)가 줄로 연결되어 있고 A가 반지름 $r$인 원을 일정한 각속도 ${\omega }_0$로 회전을 한다. 이제 물체 B을 살짝 아래로 당겼다가 놓으면 위-아래로 진동을 하게 된다. 이 진동의 주기를 구하라.

힌트: 반지름 $r_0$인 원운동할 때는 장력이 A의 구심력 역할을 한다. 따라서

$$\text{평형상태:}Mg=T_0=m{\omega }_0^2{r}_0$$

반지름이 $\mathrm{\Delta }r$(평형위치에서 B의 변위 증가분으로 $d^2\mathrm{\Delta }r/d{t}^2=a$) 만큼 줄어들었을 때 B의 가속도를 $a$라면 B의 운동방정식은 

$$Mg-T=Ma$$이고 A는 각속도가 변하는데 이 과정에서 각운동량이 보존되므로 변하는 각속도를 구할 수 있다.

$$m{r}^2\omega =m(r_0-\mathrm{\Delta }r{)}^2\omega \to \omega =\frac{{\omega }_0}{(1-\mathrm{\Delta }r/r_0{)}^2}$$

그리고 A가 중심방향의 가속도 $a_A=a+{\omega }^2(r-\mathrm{\Delta }r)$를 가지므로 운동방정식은

$$T=m(a+{\omega }^2{r}_0(1-\mathrm{\Delta }r/r_0))$$

$$=m(a+{\omega }_0^2\frac{r_0}{(1-\mathrm{\Delta }r/r_0{)}^3})\approx m(a+{\omega }_0^2{r}_0+3{\omega }_0^2\mathrm{\Delta }r)$$여기서 $|\mathrm{\Delta }r|\ll r_0$임을 사용했다. $T=M(g-a)$이므로

$$(M+m)a=-3m{\omega }_0^2\mathrm{\Delta }r$$이므로 가속도가 변위의 음수에 비례함을 얻을 수 있고, 이는 단순조화운동임을 의미한다. 그리고 이 단순조화진동의 각진동수는

$$\omega ={\omega }_0\sqrt{\frac{3m}{m+M}}$$

다른 방법으로는 https://kipl.tistory.com/760에서의 결과를 이용해도 된다.

도르래에 선밀도가 $\lambda$인 충분히 줄이 걸쳐있고(바닥에 쌓인 줄의 길이는 충분하다), 줄의 중간에 원숭이가 아래로 내려가지 않도록 하기 위해서 줄을 아래로 일정한 속도로 당긴다. 얼마의 속도로 당겨야 하는가? 

힌트: 줄 자체의 무게는 도르래 양쪽에 같은 길이의 줄이 늘어져 있으므로 고려할 필요가 없다. 원숭이가 아래로 내려가지 않게 하기 위해서는 줄을 아래로 당겨야 한다. 이 힘의 반작용이 원숭이의 중력과 같으면 원숭이는 줄의 중간에서 일정한 높이를 유지하면서 있을 수 있다. 줄이 일정한 속도 $v$로 움직이면 오른쪽 바닥에 정지해 있는 줄이 속도 0에서 $v$로 변하게 되는데 이 과정에서 필요한 impulsive force은 $T=vdm/dt=\lambda v^2$이다. 이 힘이 원숭이의 무게와 같으면 원숭이는 제자리에 정지상태를 유지할 수 있다.

$$mg=\lambda v^2\to v=\sqrt{\frac{mg}{\lambda }}$$