Geometry & Recognition

그림과 같이 매끄러운 바닥에 놓인 길이 $L$인 막대의 왼쪽 끝이 길이 $D$로 느슨하지 않은 줄에 연결되어 있다. 막대의 오른쪽 끝에 같은 질량의 총알이 $v_0$로 다가와 박힌다. 막대는 반시계방향으로 회전을 하려고 하기 때문에 줄이 팽팽해진다. 이때 줄에 걸리는 장력은?

힌트: 줄이 팽팽해지면서 장력을 작용하므로 줄방향의 운동량은 보존이 안되고, 줄에 수직인 방향의 운동량은 보존된다. 따라서 충돌직후 총알 박힌 막대의 질량중심이 움직이는 속도를 $v_{\mathrm{\perp }}$ 과 $v_{\parallel }$로 나누면

$$\text{줄에 수직방향 운동량 보존:}2m{v}_{\mathrm{\perp }}=m{v}_0\sin \theta$$$$\to v_{\mathrm{\perp }}=\frac{1}{2}m{v}_0\sin \theta$$

충돌직후 총알 박힌 막대의 질량중심(왼쪽 끝에서 $\frac{3}{4}L$)을 기준으로 회전운동을 시작하는데 이때 각속도를 $\omega$라고 하자. 그리고 막대왼쪽 끝 줄에 연결된 부분(A)은 줄 때문에 충돌직후 순간적으로 회전을 한다. A지점의 속도($v_A$)는 질량중심의 속도와 질량중심에 대한 회전각속도로 표현할 수 있는데,  줄이 안 늘어나므로 줄방향 성분이 없어야 한다:

$$\text{A의 줄방향 속도 성분 = 0:}0=v_{\parallel }-\frac{3L}{4}\omega \cos \theta$$$$\to v_{\parallel }=\frac{3L}{4}\omega \cos \theta$$

줄에 수직인 성분을 질량중심 속도와 회전각속도를 이용해서 표현하면,

$$\text{A의 줄에 수직 속도 성분:}$$$$v_A=-v_{\mathrm{\perp }}+\frac{3L}{4}\omega \sin \theta =-\frac{1}{2}{v}_0\sin \theta +\frac{3L}{4}\omega \sin \theta (\ast )$$

그다음으로 $A$ 점에 대한 토크가 없으므로 각운동량이 보존된다. 초기 각운동량은 

$$L_i=m{v}_{0}L$$

충돌직후 각운동량은 총알 박힌 막대의 질량중심에 대해서 $\omega$로 회전하고, 질량중심이 또 움직이므로 이 둘을 고려해야 한다. 질량중심에 대한 회전관성은 $$I_{cm}=\frac{1}{12}m{L}^2+m\frac{L^2}{16}+m\frac{L^2}{16}=\frac{5}{24}m{L}^2$$ 로 주어지므로 충돌직후 각운동량은

$$L_f=I_{cm}\omega +(2m)\frac{3L}{4}(v_{\mathrm{\perp }}+v_{\parallel }{)}_y$$

$$=\frac{5}{24}m{L}^2\omega +(2m)\frac{3L}{4}(v_{\mathrm{\perp }}\sin \theta +v_{\parallel }\cos \theta )$$

$$=\frac{5}{24}m{L}^2\omega +\frac{3m{L}^2}{2}(\frac{3L}{4}\omega -v_A\sin \theta )$$이다. 각운동량 보존($L_i=L_f$)에서

$$v_0=\frac{3}{2}(\frac{3L}{4}\omega -v_A\sin \theta )+\frac{5}{24}L\omega (\ast \ast )$$

이므로 (*) 식과 연립해서 $v_A$와 $\omega$을 구할 수 있다.

$$v_A=\frac{2v_0\sin \theta }{32-27{\sin }^2\theta },\omega L=\frac{6v_0(4-3{\sin }^2\theta )}{32-27{\sin }^2\theta }$$

팽팽해진 줄 때문에 A점은 순간적으로 회전운동을 하므로 줄과 나란한 방향의 가속도 성분은 구심가속도로 표현된다.

$$(a_A{)}_{\parallel }=\frac{v_A^2}{D}$$

그런데 A점에 작용하는 힘은 장력뿐만 아니라 막대의 다른 부분이 작용하는 힘도 있으므로 구심력이 장력이 되지 못한다. 막대에 작용하는 외력이 장력뿐이므로 막대의 질량중심 가속도는

$$\text{cm 가속도:}a=\frac{T}{2m}\text{parallel to the string}$$ 또 장력은 질량중심에 대한 토크(시계방향 회전)를 형성하므로

$$\tau =-\frac{3L}{4}T\cos \theta =\frac{5}{24}m{L}^2\alpha \to \alpha L=-\frac{18}{5}\frac{T}{m}\cos \theta \text{(-=cw)}$$ 그리고 질량중심에서 A까지 변위를 $\overrightarrow{R}$이라면

$${\overrightarrow{v}}_A=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{R}$$

$$\to {\overrightarrow{a}}_A=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{R}+\overrightarrow{\omega }\times (\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{R})$$

여기서 $\overrightarrow{\omega }=\frac{v_0}{L}\hat{k}$, $\overrightarrow{R}=-\frac{3L}{4}\hat{i}$, $\overrightarrow{\alpha }L=-\frac{18T\cos \theta }{5m}\hat{k}$이므로  앞의 결과를 대입하면,

$$T=\frac{10}{5+27{\cos }^2\theta }[\frac{3}{4}\sin \theta +\frac{L}{D}{\left(\frac{v_A}{v_0}\right)}^2]\frac{m{v}_0^2}{L}$$

반지름  $R$인 원통에 묶인 줄의 끝에는 질량 $m$인 추가 달려있다. 이 추가 팽팽해진 줄에 수직 하게 $v_0$ 속도로 운동을 시작한다. 이후 줄은 원통을 감게 되므로 추는 결국 원통과 충돌을 한다. 추가 출발하는 각가속도를 구하라.

힌트: 추의 속도와 줄의 장력방향이 수직이므로 장력은 물체에 일을 하지 않는다. 따라서 추의 속력은 일정하다.

줄이 수평과 $\theta$의 각도를 이룰 때 추의 $x$ 좌표는 

$$x=R\sin \theta +(L-R\theta )\cos \theta$$이므로 이를 미분하면 

$$v_x=R\omega \cos \theta -R\omega \cos \theta -(L-R\theta )\omega \sin \theta =-(L-R\theta )\omega \sin \theta$$

그런데 $v_x=-v_0\sin \theta$이므로

$$\omega =\frac{v_0}{L-R\theta }$$

즉, 추는 줄어든 줄이 원에 접촉하는 지점을 기준으로 순간적으로 회전을 하는 운동을 한다. 그리고 각속도가 회전각의 함수로 주어졌으므로

$$\alpha =\frac{d\omega }{dt}=\frac{d\theta }{dt}\frac{d\omega }{d\theta }=\omega \frac{d\omega }{d\theta }=-\frac{R{v}_0^2}{(L-R\theta {)}^3}$$이므로 $\theta =0$일 때 각가속도는

$$\alpha (0)=-\frac{R{v}_0^2}{L^3}$$ 

가벼운 막대로 연결된 두 물체 B, C에 그림과 같이 물체 A가 $v_0$로 다가와 정면으로 탄성충돌을 한다. 충돌 후 각 물체의 속력은? 단, 세 물체의 질량은 모두 같다.

힌트:  정면충돌을 하므로 충돌 후 A의 속도성분 $v_1(EE)$는 충돌 전과 나란한 방향이고, B의 속도는 막대방향 성분 $v_2(SE)$와 막대에 수직인 성분 $v_3(NE)$로 분해하자. 충돌 직후에서 막대의 장력에 의해서 C는 $v_2$의 막대방향 속도성분을 가진다. A와 B의 충돌이 탄성적이므로 충돌 전후의 상대속도의 크기가 같아야 한다.

$$v_0-0=\frac{v_2+v_3}{\sqrt{2}}-v_1$$

외력이 없으므로 y축 방향 운동량이 보존되고,

$$0=-\frac{m{v}_2}{\sqrt{2}}+m(-\frac{v_2}{\sqrt{2}}+\frac{v_3}{\sqrt{2}})\to v_3=2v_2$$

또한 x축 방향의 운동량도 보존되므로

$$m{v}_0=m{v}_1+m(\frac{v_2}{\sqrt{2}}+\frac{v_3}{\sqrt{2}})+m\frac{v_2}{\sqrt{2}}\to v_0=v_1+\frac{4}{\sqrt{2}}{v}_2$$

따라서 미지수 $v_1,v_2,v_3$에 식 3개가 주어졌으므로 풀면

$$v_1=-\frac{v_0}{7},v_2=\frac{2\sqrt{2}}{7}{v}_0,v_3=\frac{4\sqrt{2}}{7}{v}_0$$