추가 원통을 감기 시작할 때 각가속도는?

반지름  $R$인 원통에 묶인 줄의 끝에는 질량 $m$인 추가 달려있다. 이 추가 팽팽해진 줄에 수직 하게 $v_0$ 속도로 운동을 시작한다. 이후 줄은 원통을 감게 되므로 추는 결국 원통과 충돌을 한다. 추가 출발하는 각가속도를 구하라.

힌트: 추의 속도와 줄의 장력방향이 수직이므로 장력은 물체에 일을 하지 않는다. 따라서 추의 속력은 일정하다.

줄이 수평과 $\theta$의 각도를 이룰 때 추의 $x$ 좌표는 

$$ x = R \sin\theta + (L - R\theta) \cos \theta$$이므로 이를 미분하면 

$$ v_x = R \omega  \cos \theta - R \omega \cos \theta - (L-R\theta) \omega \sin \theta = - (L - R\theta) \omega \sin \theta$$

그런데 $v_x = - v_0 \sin \theta$이므로

$$ \omega  = \frac{v_0}{L-R\theta}$$

즉, 추는 줄어든 줄이 원에 접촉하는 지점을 기준으로 순간적으로 회전을 하는 운동을 한다. 그리고 각속도가 회전각의 함수로 주어졌으므로

$$  \alpha = \frac {d\omega}{dt} = \frac{d\theta }{dt} \frac{d\omega}{d \theta} =\omega \frac{d\omega}{d \theta} = - \frac {R v_0^2}{(L- R\theta)^3}$$이므로 $\theta=0$일 때 각가속도는

$$  \alpha(0) = -\frac {R v_0 ^2}{ L^3 }$$