Geometry & Recognition

그림처럼 질량이 같은 두 물체가 접촉하고 있고, 모든 접촉면과의 마찰은 무시할 수 있다. 두 물체가 접촉하고 있는 동안 가속도는?

힌트: 위의 물체(B)는 아래로 내려가는 운동을 하고(가속도 $a_B\downarrow$) 아래 물체(A)는 오른쪽으로 움직이게 된다(가속도 $a_A\to$). 두 물체가 접촉하고 있는 동안은 접촉면에 수직방향으로는 가속도가 같아야 한다. 

$$\text{접촉 조건:}{a}_A\sin \theta =a_B\cos \theta$$

두 물체계에 작용하는 수평외력은 B가 벽에서 받은 수직항력이 있는데, 이 힘이 두 물체의 질량중심의 수평방향 가속도를 준다.

$$N=(m+m)\frac{m{a}_A+m\cdot 0}{m+m}=m{a}_A$$

그리고 B의 경사면에 수직한 방향의 가속도 성분($\searrow$)은 

$$\sum F_{\searrow }=mg\sin \theta -N\cos \theta =m{a}_B\sin \theta$$

이제 3개의 미지수$a_A$, $a_B$, $N$와 식 3개가 있으므로 풀 수 있는데

$$a_A=g\sin \theta \cos \theta$$

$$a_B=g{\sin }^2\theta$$

물통(바닥접촉 면적 $A$)의 아래에 구멍(단면적: $a\ll A$)이 생기면 물이 빠져나가는데 이때 물통은 물과 반대로 밀리는 힘을 받는다. 물통이 뒤로 밀리지 않으려면 바닥과의 마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?

힌트: 토리첼리 정리에 의해서 바닥 구멍에서 나오는 물의 속도는 수면과의 높이가 $h$일 때, $v=\sqrt{2gh}$이다. 물이 나오는 과정에서 물의 운동량의 변화가 $\mathrm{\Delta }P=\mathrm{\Delta }mv$이므로 물통이 받는 반작용은 $F=\mathrm{\Delta }P/\mathrm{\Delta }t=v\mathrm{\Delta }m/\mathrm{\Delta }t$이고, 시간당 나오는 물은 $\mathrm{\Delta }m/\mathrm{\Delta }t=a\rho v$이므로 

$$F=a\rho v^2$$

이 힘이 정지마찰력 보다 작으면 물통은 움직이지 않는데, 나오는 물의 속력이 제일 빠른 처음 물이 나올 때 가장 크다는 것을 알 수 있다.

$$F\le \mu (\rho Ah)g\to \mu \ge \frac{2a}{A}$$

무거운 강철공($M$)과 가벼운 강철공($m\ll M$)이 거의 접촉한 채로 $h$ 높이에서 떨어진 후 단단한 바닥에 충돌한다. 이후 가벼운 강철공이 날아가는 속도는(방향, 빠르기)? 단, 모든 충돌은 탄성적이다.

힌트: 무거운 공이 바닥에 충돌하기 직전 두 공의 속도는 동일한 $v=\sqrt{2gh}$이다. 무거운 공은 바닥에 탄성충돌 후 위쪽 방향으로 동일한 속력 $v(\uparrow )$으로 아래로 내려오는 가벼운 공과 2차충돌한다. 두 공의 질량 차이가 크기 때문에 2차 충돌 후 무거운 공의 속도는 충돌 직전과 달라지지 않는다고 가정해도 된다. 그리고 두 공 사이의 충돌이 탄성적이라고 했으므로 충돌 직전의 상대속도와 충돌 직후의 상대속도 크기는 변하지 않는다. 충돌 과정에 가벼운 공은 두 공의 중심을 잇는 선분방향으로 내력을 받으므로 그 방향의 속도 성분($\nwarrow$)이 변한다: $V$. 

$$\text{충돌 직전 상대속도:}v\cos \theta -(-v\cos \theta )=2v\cos \theta$$

$$\text{충돌 직후 상대속도:}V-v\cos \theta$$

따라서  $$V=3v\cos \theta =2\sqrt{2gh}\cos {30}^{\circ }=\sqrt{6gh}$$이므로 가벼운 공의 충돌 후 속력은 

$$v_{\text{light}}=\sqrt{V^2+v^2{\sin }^2\theta }=\sqrt{\frac{13}{2}gh}$$