벽에 충돌한 지점이 가장 높아지기 위해서는 어떤 각도로 공을 차야 하는가?

벽에서 $L$만큼 떨어진 지점에서 벽을 향해 공을 속도 $v$로 찬다. 공이 벽에 충돌한 지점이 가장 높아지기 위해서는 어떤 각도로 차야 하는가? 단, 공을 차는 속력은 충분히 커서 각도를 잘 조절하면 항상 벽과 충돌할 수 있다.

힌트: 구체적인 계산이 없더라도 각도가 대략적으로 어떤 특성을 가져야 하는지 예측할 수 있다. 주어진 물리량이 $v$, $g$, $L$인데 각도가 차원이 없으므로 이들의 적당한 차원없는 조합을 생각해야 한다. 그런데 $gL$이 속도의 제곱차원을 가지므로 각은 $gL/v^2$ 또는 $v^2/gL$의 함수로 써져야 한다. 속도가 커질수록 발사각을 크게 하는 것이 더 높은 곳에 충돌할 수 있으므로 $\theta =f(v^2/gL)$ 형태의 증가함수이어야 함을 알 수 있다. 그리고 $\theta ={45}^{\circ }$일 때는 꼭지점이 최대 높이고 $v^2/gL=1$이므로 $f(1)={45}^{\circ }$여야 함을 알 수 있다. 그리고 $v\to \mathrm{\infty }$이면 $\theta \to {90}^{\circ }$, 즉, $f(\mathrm{\infty })={90}^{\circ }$임도 추측할 수 있다.

물론 벽에 충돌하는 지점의 높이가 0이상이어야 하므로 차는 각도는 $\sin (2\theta )\ge gL/v^2$을 만족시켜야 함을 보일 수 있다.