지구가 태양에 추락하는데 걸리는 시간은?

어떤 천문학적인 사건으로 인해서 지구의 속도가 갑자기 0이 된다면 지구는 더 이상 공전운동을 하지 못하고 태양을 향해서 똑바로 떨어지기 시작할 것이다. 이 경우 태양에 추락하는데 얼마의 시간이 걸릴까?

 

힌트: 직접 운동방정식을 적분을 해서 구할 수 있다.

$$\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=-\frac{G{M}_{\text{sun}}}{r^2}$$

한번 적분하면(또는 역학적 에너지 보존를 이용함면)

$$\frac{1}{2}{v}^2-\frac{G{M}_{\text{sun}}}{r}=const=-\frac{G{M}_{\text{sun}}}{a}$$이므로

$$T=-\frac{1}{\sqrt{2G{M}_{\text{sun}}}}{\int }_a^0\frac{dr}{\sqrt{\frac{1}{r}-\frac{1}{a}}}$$

$$=\sqrt{\frac{a^3}{2G{M}_{\text{sun}}}}{\int }_0^1\sqrt{\frac{x}{1-x}}dx=\frac{\pi }{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a^3}{G{M}_{\text{sun}}}}$$ 그런데 반지름 $a$인 원궤도의 공전주기가 $$T_a=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G{M}_{\text{sun}}}}=365\text{days}$$이므로 $$T=\frac{1}{4\sqrt{2}}{T}_a$$임을 알 수 있다.

그렇지만 Kepler의 제3법칙을 이용하면 복잡한 계산을 하지 않고도 구할 수 있다. 지구는 태양을 한 초점으로 하는 장축반지름이 $a$인 타원(거의 원에 가까운) 궤도를 그리면서 공전운동을 한다. 지구의 공전속력이 0이 되면 중력의 당기는 방향인 태양을 향해서 똑바로 떨어지는데 이 직선 궤도는 장축반지름이 $a/2$이고 완전히 납작하게 눌린 타원궤도(이심률=1: 타원의 두 초점이 선분의 양끝에 있다)로 생각할 수 있다.

그리고 행성궤도는 케플러의 세 가지 법칙을 만족하는데, 특히 공전주기의 제곱은 타원 장축반지름의 세제곱에 비례한다. 따라서 장축반지름이 $a$일 때의 주기 $T_a=365\text{days}$ (정상적인 공전운동)와 장축반지름이 $a/2$일 때 주기 $T_{a/2}$(직선운동)는 다음 관계를 만족한다. 

$$\frac{T_{a/2}^2}{T_a^2}=\frac{(a/2{)}^3}{a^3}=\frac{1}{8}$$

$$\to T_{a/2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}{T}_a$$

떨어지는 데 걸리는 시간은 납작궤도 공전주기의 1/2이므로 
$$T=\frac{1}{2}{T}_{a/2}=\frac{1}{4\sqrt{2}}\times (365\text{days})\approx 64.5\text{days}$$