Geometry & Recognition

물은 경사면 방향으로 가속 운동($a = g\sin \theta$) 을 한다. 표면 근처의 물분자의 운동 방정식(수평=$x$, 수직=$y$)을 살펴보자. 물분자가 받는 힘은 표면에 수직한 방향의 압력 gradient $(\nabla P)$와 중력이 있다.

\begin{gather} \sum F_x = \nabla P \sin\alpha = ma_x = m g\sin \theta \cos \theta \\ \sum F_y = \nabla P  \cos \alpha  - mg = ma_y = -mg \sin \theta \sin \theta\end{gather}

표면은 압력이 일정해야 하므로 압력 gradient 방향에 수직해야 한다. 

$$ \tan\alpha = \frac{\nabla P_x}{\nabla P_y} = \frac{g\sin \theta\cos \theta}{g-g \sin^2 \theta}=\tan \theta$$

이므로 표면은 경사면과 나란해야 한다.

물이 이동하면 질량중심이 변한다. 질량중심이 가속을 하고 있으면 힘의 필요한데 이 힘이 저울의 눈금에 영향을 준다. 물이 위로 올라가는 경우를 보자. 계 전체 질량을 $M=W/g$, 단위 시간당 물의 이동량을 $k~[\text{kg/s}]$, 물그릇의 단면적을 $A$, 높이차를 $H$라 하면, $dt$초 동안에 물의 이동 질량은 $dm = kdt$이므로 질량중심의 변화는 ($y_1$=위쪽 수면 높이, $y_2$=아래쪽 수면 높이)

$$ dy_{cm} = \frac{ dm y_1 + (-dm) y_2}{M} =\frac{dm( y_1 - y_2)}{M} \quad \rightarrow ~~v_{cm} = \frac{k}{M} ( y_1 - y_2)$$ 

위쪽 그릇의 수면 높이 변화율은 (질량=밀도*밑면적*높이)

$$\frac{dy_1}{dt} = + \frac{k}{\rho A}$$

아래쪽 수면 높이 변화율은  

$$\frac{dy_2}{dt} = - \frac{k}{\rho A}$$

따라서 질량중심 가속도는 

$$ a_{cm} = \frac{k}{M} ( \dot{y}_1 -\dot{y}_2) = \frac{k^2}{\rho AM}$$

계 전체의 외력은 중력과 저울이 작용하는 수직항력이므로

$$M a_{cm } = \sum F_y = -  W +N  \quad ~~\therefore N = W + \frac{k^2}{\rho A}$$

임을 알 수 있다.  물이 내려가는 경우는 질량중심이 아래로 가속한다.

물의 밀도를 $\rho$, 물체의 단면적을 $A$라면 처음 떠 있을 조건에서 $\rho g AH/2 = W$이다. 물체가 $x$만큼 올라가서 수면이 $y$만큼 내려간다면, 단면적의 차이가 2배(물이 채워지는 부분)이므로  $y=x/2$임을 알 수 있다. 따라서 물체가 잠겨있는 깊이는 $H/2 - (x+y)=H/2-3x/2$이고, 이에 따른 부력은 $F_b = \rho g A (H-3x)/2= \frac{W}{H}(H- 3x)$이다. 물체를 들어올리는 데 필요한 외력은 $F = mg - F_b = \frac{W}{H} 3x$.  $x=H/3$일 때 물체가 물에서 완전히 빠져나오므로 필요한 최소의 일은

$$ \text{Work} = \int_0^{H/3} F dx = \frac{WH}{6}$$

임을 알 수 있다.