물속으로 공을 잠기도록 하기 위해 필요한 일은?

반지름이 $R$인 질량을 무시할 수 있는 공을 물이 담긴 그릇의 표면에서 바닥까지 서서히 힘을 주어 밀어 넣었다(부력 때문에 힘을 아래로 힘을 주어야 한다). 이 과정에서 한 일은 얼마일까? 단, 물의 밀도는 $\rho$이고 용기 바닥의 단면적은 $A$이고, 처음 물의 깊이는 $H$이다.

풀이:

부력을 굳이 구할 필요가 없다. 공의 질량을 무시할 수 있으므로 해 준 일은 결국 용기 속 물의 위치에너지를 올리는 데 사용된 것이다. 공이 물속에 잠길 때 밀어낸 물의 질량은 $m_1 = \frac {4}{3}\rho \pi R^3$이고, 수면의 높이는 $\Delta h = \frac {4\pi R^3}{3A}$만큼 높아진다.

처음 그릇의 물을 공이 완전히 잠겼을 때 차지하는 부분의 물(질량은 $m_1 = $공이 잠겼을 때 처음 표면 위쪽으로 올라가는 물의 질량이다)과 나머지 부분의 물($m_2=M-m_1$) 로 구별하자. 그러면 수조 물의 질량중심은(구체적으로 계산할 필요는 없다) $$y_{cm}  = \frac {m_1 y_1+m_2 y_2}{m_1 + m_2}$$

이제 공이 완전히 잠겼을 때 질량중심의 변화는 $m_1$의 질량중심 위치 변화가(오른쪽 그림에서 공 중심에서 원래 표면 위쪽으로 올라간 부분의 중간 높이로 변함) $\Delta y_1 = \frac {1}{2} \Delta h + H-R$이고 $m_2$는 변화가 없다: $\Delta y_2= 0$. 따라서 

$$\Delta y_{cm} = \frac {m_1 \Delta y_1}{m_1 + m_2}$$

이므로 그릇 물 전체 위치에너지의 변화는 

$$\Delta U = ({m_1+m_2}) g \Delta y_{cm} = m_1 g \Delta y_1 = \rho g \frac {4\pi R^3}{3} \left( \frac {2\pi R^3}{3A} + H - R\right)$$

이다. 잠긴 공이 밀어낸 물의 위치에너지 변화와 같다.

공의 질량이 있는 경우는 공의 질량중심 변화를 주기 위해 필요한 일을 더하면 된다.