물속에 잠긴 공의 꺼내기 위해 필요한 일은?

평균밀도가 물과 같은 반지름 $r$공이 깊이가 $h$인 매우 넓은 수조 바닥에 놓여 있다. 이 공을 수면 밖으로 완전히 건져내기 위해서 필요한 일은? 공의 질량은 $m$이다.

1. $mgr$
2. $mgh$
3. $mg(r+h)$
4. $0.5 mgr$

힌트: 수조가 매우 넓으므로 끌어올리는 과정에서 수위의 변화는 무시할 수 있다. 그러나 유한한 수조의 경우 수위 변화도 같이 고려해야 한다.

답은 아주 단순하게 구할 수 있다. 풀이는 직접 부력을 계산해서 구하자. 공이 수면에서 나온 높이가 $y$일 때 나온 부분의 부피는 $V_\text {float} = \frac {\pi y^2}{3}(3r-y)$이므로 잠긴 부분의 부피는 $V_\text {submerged} = V_\text {sphere} -  V_\text {float}$이고, 부력은 $$ F_b = \rho gV_\text {submerged} = \rho gV_\text {sphere} - \rho gV_\text {float} = mg - \rho g V_\text{float}$$물속에 잠겨있는 동안에는 부력과 중력이 같으므로 외력이 필요 없고, 물 밖으로 나오는 경우에만 외력이 필요한다. 외력이 $$F = mg - F_b = \rho g  V_\text{float} $$이므로 

$$ W = \int _0^ {2r} F dy = \int_0^{2r} \frac {\pi\rho g y^2}{3} ( 3 r  - y ) dy =  mgr$$