Geometry & Recognition

한쪽 끝이 공중에 떠있는 막대가 부분적으로 물에 잠겨 있다. 물속에 들어가 있는 부분의 얼마인가? 막대의 길이는 $L$, 비중은 $s<1$이다.

힌트:

펼쳐진 노트북의 위쪽에서 아래로 지긋히 누르면 노트북이 넘어지는 경우를 본 적이 있을 것이다(물론 hinge가 매우 빡빡한 새 노트북이어야 할 것이다). 그림과 같이 펼쳐진 노트북에서 얼마의 힘을 주면 노트북이 넘어질까? 단, 상판과 하판의 무게는 같다고 볼 수 있고, 총 무게는 1kg이다.

긴 굴뚝이 넘어지는 동영상을 보면 전체가 땅바닥에 충돌하면서 부서지는 것이 아니라 중간에 먼저 부러지는 현상을 종종 볼 수 있다. 그럼 넘어지는 굴뚝의 어느 위치가 가장 부러지기 쉬울까?

수직으로 서 있던 굴뚝이 넘어지는 현상을 분석하기 위해서 굴뚝을 길이 $L$, 질량 $m$, 반지름 $r\ll L$인 기둥형태의 강체로 근사하자.

그러면 수직에서 $\theta$만큼 기울어졌을 때 운동방정식

$$\ddot{\theta }=\frac{3g}{2L}\sin \theta$$

은 에너지 보존이나 질량중심의 원운동을 분석하면 쉽게 얻을 수 있다.

넘어지는 굴뚝이 중간에 부러지는 경우를 분석하기 위해서 굴뚝을 임의의 아래-위 두 부분으로 나눈 후 단면에서 윗부분에 작용하는 힘을 분석해 보자. 윗부분이 단면에서 받는 힘은 넘어지는 앞쪽에서는 기둥 아래쪽으로 당기고($T_1$), 뒤쪽은 기둥의 위쪽으로 작용하고($T_2$) (이 두 힘이 만드는 토크가 bending moment가 되어 기둥을 휘게 만든다. 어느 쪽으로 휘는가에 따라 $T_1,T_2$ 방향이 정반대 일 수도 있지만 아래의 분석에는 크게 중요하지 않다) , 그리고 단면에서 shear $F$가 작용해야 된다. 이제 기둥의 아래쪽 길이가 전체의 $\alpha$배만큼이라면 윗부분의 질량은 $m_{\text{up}}=(1-\alpha )m$, 길이는 $L_{\text{up}}=(1-\alpha )L$다. 윗부분의 운동은 질량중심이 속도가 변하는 원운동(회전축=바닥, $R=\frac{(1+\alpha )L}{2}$)을 하므로 구심방향 운동과 접선 방향 운동으로 나눌 수 있고, 그리고 질량중심에 대한 회전운동이 있다.

$$\begin{array}{rl}& \text{CM-구심운동:}{T}_2-T_1+m_{\text{up}}g\cos \theta =m_{\text{up}}{a}_c\\ & \text{CM-접선운동:}F+m_{\text{up}}g\sin \theta =m_{\text{up}}{a}_t\\ & \text{회전 w.r.t. CM:}(T_1+T_2)r-F\frac{L_{\text{up}}}{2}=m_{\text{up}}\frac{L_{\text{up}}^2}{12}\ddot{\theta }\end{array}$$

여기서 $a_c=R{\dot{\theta }}^2$, $a_t=R\ddot{\theta }$이다. 부러지기 전까지는 중력에 의해서 넘어지므로 $T_2\approx T_1$임을 알 수 있다. 이 근사를 사용하면 

$$F+m_{\text{up}}g\sin \theta =\frac{3R}{2L}{m}_{\text{up}}g\sin \theta$$

$$2r{T}_2-F\frac{L_{\text{up}}}{2}\approx \frac{L_{\text{up}}^2}{8L}{m}_{\text{up}}g\sin \theta$$

을 얻고

$$\frac{8r{T}_2}{mgL\sin \theta }=\alpha (1-\alpha {)}^2$$

이다. $T_2$가 클수록 막대가 잘 부러지는데, 최댓값은 $\alpha =1/3$일 때이다. 즉, 막대가 넘어지는 과정에서 부러진다면 그 지점은 바닥에서 $1/3$만큼 떨어진 지점이 될 것이다.