회전할 수 있는 원판이 달린 막대의 진동 주기는?

고정축에 대해 자유롭게 회전할 수 있는 막대의 끝에 또한 자유롭게 회전할 수 있는 원판이 부착되어 있다. 이 막대를 흔들리게 할 경우 주기는 얼마나 될까?

막대에 작용하는 힘은 회전축이 주는 힘($f$), 중력($mg$), 그리고 원판이 당기는 힘($N$)이 있다. 막대가 축에 대해서 회전을 하므로 회전운동방정식은

$$ \sum \tau_\text{hinge} =- mg\frac{\ell}{2} \sin \theta - \tau_N = \frac{1}{3}m\ell^2 \alpha$$ 여기서 $\tau_N$은 원판이 당기는 힘이 막대에 작용하는 토크다. 원판에 작용하는 힘은 중력($Mg$)과 막대가 당기는 힘($N$)이 있는데, 원판의 질량중심에 대해서 토크를 만들 수 없다. 따라서 원판은 질량중심에 대해서는 초기조건에 따라 일정하게 회전하거나 회전이 없을 수도 있다. 그리고 원판의 질량중심은 막대의 회전축에 대해서 원운동을 하게 된다. 원판의 접선방향 운동방정식은

$$ \sum \tau_\text{hinge} = -Mg \ell \sin \theta + \tau_N = M \ell^2 \alpha  $$

이 두식에서 각가속도 $\alpha$을 구하면

$$ \left( \frac{1}{3} m\ell^2 + M \ell ^2 \right) \alpha = -\left( mg\frac{\ell}{2} \sin \theta + Mg\ell \right) \sin \theta $$

$$\to~ \alpha = -\frac{mg \frac{\ell}{2} + Mg\ell}{\frac{1}{3}m \ell^2 + M\ell^2 } \sin \theta $$

이 운동방정식은 원판이 막대 끝에 질량 $M$인 점입자가 부착되어 있는 경우와 동일하다. 원판이 막대 끝에 고정이 되어 있으면 막대가 회전할 때 원판도 질량중심에 대한 회전이 이루어져서 회전관성을 고려해야 한다.

$$ \alpha =- \frac{mg \frac{\ell}{2} + Mg \ell }{\frac{1}{3} m\ell^2 + M\ell^2 +  \frac{1}{2}MR^2 } \sin \theta$$