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긴 굴뚝이 넘어지는 동영상을 보면 전체가 땅바닥에 충돌하면서 부서지는 것이 아니라 중간에 먼저 부러지는 현상을 종종 볼 수 있다. 그럼 넘어지는 굴뚝의 어느 위치가 가장 부러지기 쉬울까?

수직으로 서 있던 굴뚝이 넘어지는 현상을 분석하기 위해서 굴뚝을 길이 L, 질량 m, 반지름 rL인 기둥형태의 강체로 근사하자.

그러면 수직에서 θ만큼 기울어졌을 때 운동방정식

¨θ=3g2Lsinθ

은 에너지 보존이나 질량중심의 원운동을 분석하면 쉽게 얻을 수 있다.

넘어지는 굴뚝이 중간에 부러지는 경우를 분석하기 위해서 굴뚝을 임의의 아래-위 두 부분으로 나눈 후 단면에서 윗부분에 작용하는 힘을 분석해 보자. 윗부분이 단면에서 받는 힘은 넘어지는 앞쪽에서는 기둥 아래쪽으로 당기고(T1), 뒤쪽은 기둥의 위쪽으로 작용하고(T2) (이 두 힘이 만드는 토크가 bending moment가 되어 기둥을 휘게 만든다. 어느 쪽으로 휘는가에 따라 T1,T2 방향이 정반대 일 수도 있지만 아래의 분석에는 크게 중요하지 않다) , 그리고 단면에서 shear F가 작용해야 된다. 이제 기둥의 아래쪽 길이가 전체의 α배만큼이라면 윗부분의 질량은 mup=(1α)m, 길이는 Lup=(1α)L다. 윗부분의 운동은 질량중심이 속도가 변하는 원운동(회전축=바닥, R=(1+α)L2)을 하므로 구심방향 운동과 접선 방향 운동으로 나눌 수 있고, 그리고 질량중심에 대한 회전운동이 있다.

CM-구심운동:  T2T1+mupgcosθ=mupacCM-접선운동:  F+mupgsinθ=mupat회전 w.r.t. CM:  (T1+T2)rFLup2=mupL2up12¨θ

여기서 ac=R˙θ2, at=R¨θ이다. 부러지기 전까지는 중력에 의해서 넘어지므로 T2T1임을 알 수 있다. 이 근사를 사용하면 

F+mupgsinθ=3R2Lmupgsinθ

2rT2FLup2L2up8Lmupgsinθ

을 얻고

8rT2mgLsinθ=α(1α)2

이다. T2가 클수록 막대가 잘 부러지는데, 최댓값은 α=1/3일 때이다. 즉, 막대가 넘어지는 과정에서 부러진다면 그 지점은 바닥에서 1/3만큼 떨어진 지점이 될 것이다.

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