넘어지는 굴뚝이 잘 부러지는 부분은 어디일까?

긴 굴뚝이 넘어지는 동영상을 보면 전체가 땅바닥에 충돌하면서 부서지는 것이 아니라 중간에 먼저 부러지는 현상을 종종 볼 수 있다. 그럼 넘어지는 굴뚝의 어느 위치가 가장 부러지기 쉬울까?

수직으로 서 있던 굴뚝이 넘어지는 현상을 분석하기 위해서 굴뚝을 길이 $L$, 질량 $m$, 반지름 $r \ll L$인 기둥형태의 강체로 근사하자.

그러면 수직에서 $\theta$만큼 기울어졌을 때 운동방정식

$$ \ddot \theta = \frac{3g}{2L} \sin \theta$$

은 에너지 보존이나 질량중심의 원운동을 분석하면 쉽게 얻을 수 있다.

넘어지는 굴뚝이 중간에 부러지는 경우를 분석하기 위해서 굴뚝을 임의의 아래-위 두 부분으로 나눈 후 단면에서 윗부분에 작용하는 힘을 분석해 보자. 윗부분이 단면에서 받는 힘은 넘어지는 앞쪽에서는 기둥 아래쪽으로 당기고($T_1$), 뒤쪽은 기둥의 위쪽으로 작용하고($T_2$) (이 두 힘이 만드는 토크가 bending moment가 되어 기둥을 휘게 만든다. 어느 쪽으로 휘는가에 따라 $T_1, T_2$ 방향이 정반대 일 수도 있지만 아래의 분석에는 크게 중요하지 않다) , 그리고 단면에서 shear $F$가 작용해야 된다. 이제 기둥의 아래쪽 길이가 전체의 $\alpha$배만큼이라면 윗부분의 질량은 $m_\text{up}=(1-\alpha)m$, 길이는 $L_\text{up}= (1-\alpha)L$다. 윗부분의 운동은 질량중심이 속도가 변하는 원운동(회전축=바닥, $R= \frac{(1+\alpha )L}{2}$)을 하므로 구심방향 운동과 접선 방향 운동으로 나눌 수 있고, 그리고 질량중심에 대한 회전운동이 있다.

\begin{align} &\text{CM-구심운동:}~~T_2 - T_1 + m_\text{up} g \cos \theta = m_\text{up} a_c \\ &\text{CM-접선운동:}~~ F+ m_\text{up} g\sin \theta = m_\text{up} a_t \\ &\text{회전 w.r.t. CM:} ~~(T_1+T_2)r -F \frac{L_\text{up}}{2} = m_\text{up} \frac{ L_\text{up}^2}{12} \ddot \theta\end{align}

여기서 $a_c = R \dot{\theta}^2$, $a_t = R \ddot \theta$이다. 부러지기 전까지는 중력에 의해서 넘어지므로 $T_2 \approx T_1$임을 알 수 있다. 이 근사를 사용하면 

$$ F + m_\text{up} g \sin \theta = \frac{3R} {2L} m_\text{up} g\sin \theta$$

$$2rT_2 - F \frac{L_\text{up}}{2} \approx \frac{L_\text{up}^2}{8 L} m_\text{up} g \sin \theta  $$

을 얻고

$$ \frac{8rT_2}{mgL\sin \theta} =  \alpha(1- \alpha)^2$$

이다. $T_2$가 클수록 막대가 잘 부러지는데, 최댓값은 $\alpha = 1/3$일 때이다. 즉, 막대가 넘어지는 과정에서 부러진다면 그 지점은 바닥에서 $1/3$만큼 떨어진 지점이 될 것이다.