I=∫∞0logxdx(1+x2)2=−π4

log 함수때문에 brach cut을 −x 축으로 선택을 하고 (−π<arg(z)≤π) 함수 f(z)
f(z)=(logz1+z2)2
을 그림과 같은 열쇠 구멍 모양의 폐경로를 따라 적분하자.

폐경로가 double pole z=±i를 포함하므로
(∫C1+∫C2+∫Cϵ+∫C∞)f(z)dz=−2πi[Resf(z=i)+Resf(z=−i)]=−2πi(−π4+iπ216−π4−iπ216)=iπ2
여기서
∫C∞f(z)dz→0,∫Cϵf(z)dz→0
이고, C1 경로는 z=xeiπ, x:0→∞이고, C2 경로는 z=xe−iπ, x:∞→0이므로
∫C1f(z)dz=∫∞0(logx+iπ)2(−dx)(1+x2)2=−∫∞0(logx)2+2πilogx−π2(1+x2)2dx
∫C2f(z)dz=∫0∞(logx−iπ)2(−dx)(1+x2)2=∫∞0(logx)2−2πilogx−π2(1+x2)2dx
이므로
(∫C1+∫C2)f(z)dz=−4πi∫∞0logxdx(1+x2)2

https://en.wikipedia.org/wiki/Contour_integration에 잘못된 내용이 들어감
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