Integration along a branch cut-017

$$I = \int_{-\infty}^\infty \frac{\log (1+x^4)dx}{1+x^2 }= \pi \log ( 6 + 4\sqrt{2})\approx 2.45589 \times \pi$$

복소평면에서 다음 $f(z)$의 contour 적분을 고려하자.

$$f(z) = \frac{\log(1+z^4)}{1+z^2}$$

$z= \pm i$는 $f(z)$의 simple pole로 residue값은 각각 

$$\text{Res} [f(\pm i)] =  \mp \frac{i}{2}\log 2$$

그리고 $\log(1+z^4)$ 때문에 branch cut을 도입을 해야 하는데, branch point가

$$z^4 +1 = 0~~\to ~~ z_k = e^{ i\frac{\pi}{4} (2k + 1)} , ~k=0,1,2,3$$

으로 주어지므로 그림과 같이 선택을 한다. 

$$\begin{align}\log(1+z^4) &= \sum_k \log(z-z_k)  \\ &= \sum_k \left[ \log|z- z_k| + i \text{arg}(z-z_k) \right] \\ &= \log|z^4 + 1| + i \sum _k A_k\end{align}$$

$k-$번째 cutline을 시계방향으로 건너면 $A_k$는 $2\pi$만큼 증가한다. 그림의 폐경로를 따라 적분을 하면

$$\begin{align} \oint f(z) dz &= \left(  \int_{C_\infty} + \int _{C_{0\epsilon}} + \int_{C_{1\epsilon}} + \int_{\gamma'_0} + \int _{\gamma_0}  +\int_{\gamma'_1 } + \int_{\gamma _1}  \right) f(z)dz + I \\ &= 2\pi i \times \text{Res}[f(+i)] \end{align}$$

인데,

$$\int_{C_\infty} f(z)dz \to 0, ~~ \int_{C_{0\epsilon}} f(z) dz \to 0,~~ \int _{C_{1\epsilon}} f(z) dz \to 0$$  

먼저 

$$\begin{align} \left(\int_{\gamma'_0 } + \int _{\gamma _0 } \right) f(z) dz &= -\int _{\gamma _0}  \frac{\log{|z^4 +1|}  + i (\frac{\pi}{4}+2\pi + A_1+ A_2 + A_3 ) }{1+z^2}dz    \\ & ~~~+ \int_{\gamma_0} \frac{\log |z^4 + 1| + i (\frac{\pi }{4} + A_1 +A_2 + A_3) }{1+z^2} dz \\ &=-2\pi i \int _{\gamma_0} \frac{dz}{1+z^2} \end{align}$$

마찬가지로 

$$\left( \int_{\gamma'_1} + \int_{\gamma_1}   \right) f(z) dz = -2\pi i \int _{\gamma_1} \frac{dz} {1+z^2}$$

이다. 그리고

$$\int \frac{dz}{1+z^2} = \arctan(z) = \frac{1}{2i} \log \frac{1+i z}{1-iz}$$ 임을 이용하면 반직선 경로 $\gamma_0+ \gamma_1$에서 적분은 상한은 상쇄되고, 하한 $z=z_0, z_1$만 기여가 있다.

$$\begin{align} \int_{\gamma_0} \frac{dz}{1+z^2}&=  \left.\frac{1}{2i} \log \frac{1+iz}{1-iz}\right|_{e^{i\pi/4}}^{\infty e^{i\pi/4}} =  \frac{1}{2i} \left(- i \pi - \log \frac{1+ ie^{i\pi/4}}{1-i e^{i \pi/4}}\right) \\ \int_{\gamma_1} \frac{dz}{1+z^2} &= \left.\frac{1}{2i} \log \frac{1+iz}{1-iz}\right|_{e^{i 3\pi/4}}^{\infty e^{i 3\pi/4} } =\frac{1}{2i}\left( i\pi -\log \frac{1+ i e^{i3\pi/4}}{1-i e^{i 3\pi/4}}\right) \end{align}$$ $$\begin{align} \int_{\gamma'_0+\gamma_0+ \gamma'_1+\gamma_1} f(z) dz & = \pi \log \left[ \frac{1+i e^{i\pi/4} } {1-i e^{i\pi/4}} \frac{1+i e^{i3\pi/4}}{1 - ie^{i3\pi/4}} \right] \\ &= \pi \log\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\end{align}$$  

정리하면 

$$I  = \pi \log 2 - \pi \log \frac{2 - \sqrt{2}}{2 +\sqrt{2}} = \pi \log(6+ 4\sqrt{2})$$