Integration along a branch cut-019

$$I = \int_0^\infty \frac{\log x \log(x^2 + 1)dx}{x^2 } = \pi  \\J = \int_0^\infty \frac{\log(x^2+1)}{x^2} = \pi$$

복소함수

$$f(z) = \frac{\log z \log(z^2+1) }{z^2}$$

의 contour 적분을 고려하자. $\log(x)$와 $\log(x^2+1)$의 branch point가 각각 $z=0$, $z=\pm i$이므로 그림과 같이 branch cut과 경로를 선택하자.

그러면

$$\oint f(z) dz = 0$$

먼저 $\int_{C_\infty} f(z)dz \to 0$이고, $C_\delta$에서는 $\log(z^2+1)\to 0$이므로 $\int_{C_\delta } f(z)dz \to 0$이다. 또 $C_\epsilon$에서는  적분인자가 $\log(2i \epsilon e^{i \theta}) \epsilon \to 0$이므로 $\int_{C_\epsilon} f(z) dz \to 0$이다. 그리고 $$\log(z^2+1) = \log|z^2+1| + i \text{arg}(z-i) +  i \text{arg}(z+i)$$ 이므로 두 반직선 $\gamma_0$와 $\gamma_1$에서의 적분은 

$$\begin{align}\left( \int_{\gamma_0} + \int_{\gamma_1}\right) f(z)dz &= -  \int_{\gamma_1 } \frac{\log z (\log |z^2+1| + i (\frac{\pi}{2} + 2\pi + \text{arg}(z+i)))  }{z^2}dz \\ &+ \int_{\gamma_1} \frac{\log z ( \log|z^2+1| + i(\frac{\pi}{2} +\text{arg}(z+i)))}{z^2}dz \\ &= -2\pi i \int_{\gamma_1} \frac{\log z dz }{z^2}= -2\pi i \int_{i}^{i\infty} \frac{\log z dz}{z^2}  \\&= -2\pi \int_1^\infty \frac{\log x + i \frac{\pi}{2} }{x^2}dx = -2\pi - i \pi^2\end{align}$$ 여기서 $\int_1^\infty \frac{\log x dx}{ x^2}$은 부분적분을 이용하면 1임을 쉽게 알 수 있다. 

마지막으로 $C_1$과 $C_2$에서 적분은

$$\begin{align}\left(\int_{C_1}+ \int_{C_2} \right) f(z) df &= \int_0^\infty \frac{\log x \log(x^2+1)dx}{x^2} + \int_{-\infty}^0 \frac{\log x \log(x^2+1)dx}{x^2} \\ &= I + \int_{\infty}^0 \frac{\log(-x) \log(x^2+1)(-dx)  }{x^2}  \\ &= I + \int_0^\infty \frac{\log x \log(x^2+1) + i \pi \log(x^2+1)}{x^2}dx \\&= 2I + i\pi J\end{align}$$

따라서

$$\int_0^\infty \frac{\log x \log(x^2+1) dx}{x^2} = \pi \\ \int_0^\infty \frac{\log(x^2+1)dx}{x^2}=\pi$$