Integration along a branch cut-020

$$I={\int }_{-1}^1{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{1/\alpha }dx=\frac{2\pi }{\alpha \sin (\pi /\alpha )}(|\alpha |>1)$$

$\alpha =4$

복소평면에서 정의된 함수

$$f(z)={\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^{1/\alpha }$$

의 contour 적분을 고려하자.

Branch point가 $z=\pm 1$이므로 그림과 같이 branch cut을 선택한다.

그러면

$$0\le \text{arg}(z-1)\le 2\pi ,0\le \text{arg}(z+1)\le 2\pi$$

이다. contour는 그림과 같이 cut line을 감싸는 이중 열쇠고리 모양의 곡선($C_1+C_2+C_{{ϵ}_1}+C_{{ϵ}_2}$)과 $R\gg 1$를 시계 방향으로 도는 $C_R$을 고려하면 둘 사이 공간에 $f(z)$가 singularity를 가지지 않으므로 두 경로에서 적분이 같아야 한다. 

$${\int }_{\text{double key holes}}f(z)={\int }_{C_R}f(z)$$

그리고

$$f(z)={\left(\frac{1-1/z}{1+1/z}\right)}^{1/\alpha }=1-\frac{2}{\alpha }\frac{1}{z}+\cdots$$

의 전개를 가지므로 무한대에서 residue가 존재하고 그 값은

$$\text{Res}(z\to \mathrm{\infty })=\frac{2}{\alpha }$$

이므로 

$${\int }_{C_R}f(z)dz=2\pi i\times \text{Res}(z\to \mathrm{\infty })=i\frac{4\pi }{\alpha }$$ 

이다.  이중 열쇠구멍의 $C_1$에서 적분은  $z-1=(1-x)e^{i\pi }$, $z+1=(1+x)e^{i0}(x:-1\to 1)$이므로 

$${\int }_{C_1}f(z)dz={\int }_{-1}^1{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{1/\alpha }{e}^{i\pi /\alpha }=e^{i\pi /\alpha }I$$

$C_2$에서 적분은 $z-1=(1-x{)}^{i\pi }$, $z+1=(1+x)e^{i2\pi }(x:1\to -1)$이므로 

$${\int }_{C_2}f(z)dz={\int }_1^{-1}{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}^{1/\alpha }{e}^{-i\pi /\alpha }dx=-e^{-i\pi /\alpha }I$$

그리고 $C_{{ϵ}_1}$과 $C_{{ϵ}_2}$에서 적분은 $0$이다. 따라서 

$$(e^{i\pi /\alpha }-e^{-i\pi /\alpha })I=2i\sin \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)I=i\frac{4\pi }{\alpha }\to I=\frac{2\pi }{\alpha \sin (\pi /\alpha )}$$