Integration along a branch cut-022

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{a-1}dx}{x^2+x+1}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\csc (\pi a)\sin \frac{\pi (1-a)}{3},0<a<2$$

함수 $f(z)$

$$f(z)=\frac{z^{a-1}}{z^2+z+1}$$

의 conttour 적분을 고려하자. $z=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}=\gamma ,\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}={\gamma }^2$가 $f(z)$의 simple pole 위치다. 그리고 residue값은

$$\begin{array}{rl}\text{Res}f(\gamma )& =\frac{{\gamma }^{a-1}}{\gamma -{\gamma }^2}=\frac{i}{\sqrt{3}}{e}^{i\pi a}{e}^{-i\pi (a-1)/3}\\ \text{Res}f({\gamma }^2)& =\frac{{\gamma }^{2(a-1)}}{{\gamma }^2-\gamma }=\frac{-i}{\sqrt{3}}{e}^{i\pi a}{e}^{i\pi (a-1)/3}\end{array}$$ $x^a$ 때문에 branch cut을 선택해야 하는데 $+x$으로 잡자. 그러면 $0\le \text{arg}(z)\le 2\pi$로 잡을 수 있다.

경로 $C_1$에서 $z=x{e}^{i0},(x:0\to \mathrm{\infty })$이므로 

$${\int }_{C_1}f(z)dz={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{a-1}dx}{x^2+x+1}=I$$

경로 $C_2$에서 $z=x{e}^{i2\pi },(x:\mathrm{\infty }\to 0)$이므로

$${\int }_{C_2}f(z)dz=e^{i2\pi (a-1)}{\int }_{\mathrm{\infty }}^0\frac{x^{a-1}dx}{x^2+x+1}=-e^{i2\pi a}I$$

그리고 $C_{ϵ}$과 $C_{\mathrm{\infty }}$에서는 적분은 0이다:$$\begin{gathered} {\int }_{C_{ϵ}}f(z)dz\sim {ϵ}^a\to 0 \\ {\int }_{C_{\mathrm{\infty }}}f(z)dz\sim \frac{1}{R^{2-a}}\to 0 \end{gathered}$$따라서

$$\oint f(z)dz=2\pi i[\text{Res}f(\gamma )+\text{Res}f({\gamma }^2)]$$

$$\to I=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}\csc (\pi a)\sin \frac{\pi (1-a)}{3}$$