Integration along a branch cut-023

$$I = \int_0^1 \left( \frac{1-x}{x} \right)^{x/ \pi } \sin xdx =  \frac{1}{2}e^{-1/\pi} \approx  0.363689$$

다음의 복소함수 

$$  f(z) = \exp \left(   \frac{z}{\pi}\log \frac{z-1}{z}\right)$$

의 contour 적분을 고려하자.

Branch point가 $z=0,1$이므로 cut line을 구간 $[0,1]$로 잡자. 그리고 위상은 $\sin(x)$을 나타나게 하기 위해서 $$ 0\le \text{arg}(z)\le 2\pi,  \quad -\pi \le \text{arg}(z-1) \le \pi$$

로 선택한 후 그림과 같은 개뼈 경로와 반지름 $R>1$인 원 $C_R$에 대해서 적분을 한다. $f(z)$는 무한대에서 residue을 가지는데 

$$ f(z=1/t) =  e^{ \frac{1}{\pi t} \log(1-t)}= e^{-1/\pi} - \frac{e^{-1/\pi}}{2\pi} t + \cdots \\ \to  \text{Res} f(z\to \infty) = \frac{e^{-1/\pi}}{2\pi}$$ 따라서 

$$ \int_{C_R} f(z) dz= -2\pi i  \times \text{Res}f(z\to \infty) = -i e^{-1/\pi} $$ $C_1$에서 $z= x e^{i0}$, $z-1 = (1-x)e^{i \pi}$이고, $C_2$에서 $z= x e^{i 2\pi}$, $z-1=(1-x) e^{-i \pi}$이므로\begin{align} \left( \int_{C_1} + \int_{C_2} \right) f(z)dz &= \int _0^1 \exp\left[ \frac{x}{\pi} \left( \log\left|\frac{1-x}{x}\right| + i \pi\right) \right]dx + \int_1^0 \exp\left[ \frac{x}{\pi}\left( \log \left| \frac{1-x}{x} \right|- i \pi  \right) \right]dx \\ &= 2i \int_0^1 \left( \frac{1-x}{x} \right) ^{x/\pi}  \sin x dx  = 2i I  \end{align}

그리고 개뼈 경로의 둥근부분에서 적분은 0으로 수렴하므로 residue 정리에 의해 

$$  \int_{C_1 +C_2 + C_\epsilon + C'_\epsilon} f(z)dz + \int_{C_R} f(z)dz = 0 \\ \to 2i I = 2\pi  i \times \text{Res}f(z\to \infty)\\ \to \qquad I = \frac{1}{2}e^{-1/\pi} $$