포물선의 반사특성(Reflective Property of Parabola)

포물선은 한 점 (초점: focus)과 주어진  직선(준선: directrix)에 이르는 거리가 같은 점들의 자취다. 좌표를 잘 선택해서 원점이 준선상에 있게 만들자(중요하지는 않지만 포물선을 간략하게 표현할 수 있게 해 준다). 준선에 수직방향의 단위벡터를 $\overrightarrow{n}$, 초점의 위치벡터를 $\overrightarrow{p}$라면 타원의 방정식은 

$$|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p}|=\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{r}$$

로 쓰인다(원점이 준선상에 있지 않으면 오른쪽에 상수항만큼이 추가된다). 양변을 미분하면

$$\dot{\overrightarrow{r}}\cdot \frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p}|}=\overrightarrow{n}\cdot \dot{\overrightarrow{r}}$$

$\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p}|}$가 초점에서 포물선 상의 한 지점까지 단위벡터이므로 왼쪽은 접선벡터 $\dot{\overrightarrow{r}}$과의 사이각($\beta$)의 코사인에 비례하고, 오른쪽은 접선과 준선에 수직방향(결국 포물선의 대칭축 방향임)과의 사이각($\alpha$)의 코사인에 비례한다.

$$\cos \beta =\cos \alpha$$

즉, 준선에 수직하게 입사한 빛은 포물선에서 반사되면 반드시 초점을 지나게 됨을 의미한다. 포물면 모양으로 거울을 만들면 평행광선을 초점에 모울 수 있다. 반대로 포물경의 초점에서 발사되는 빛은 주축에 평행한 광선으로 나가게 된다.