Minkowski 공간에서 역 Cauchy-Schwartz Inequality

Euclidean 공간에서 Cauchy-Schwartz inequality는 두 벡터 내적의 크기는 두 벡터 크기의 곱보다 작음을 보여준다. 그러나 Minkowski 공간에서는 부등호 방향이 반대가 된다. 이를 잘 알려진 특수상대성 이론에서의 쌍둥이 역설(역설이라 표현되어 있지만 실제로 역설은 아니다) 예를 이용해서 보이자. 두 쌍둥이 중 A는 지구에서 남아 있고  B는 일정한 속도로 우주여행을 한 후에 다시 지구로 돌아왔을 때 여행을 한 쌍둥이 B가 더 젊다는 것은 특수상대성 이론이 보여준 자연의 법칙의 한 단면이다. 사람이 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 경우 시공간에서 경로는 직선(시공간 벡터)으로 표현이 된다. 그리고 이 직선의 길이는(*Minkowski space 임에 주의) 시공간에서 이 두 지점(event)을 연결하는 직선을 따라 움직이는 사람의 끝 위치에서 나이가 시작에서 보다 얼마나 더 들었는가를 나타낸다. 여행을 떠난 쌍둥이 B의 목적지까지 시공간 벡터를 $\mathbf{a}$, 목적지에서 다시 지구까지 시공간 벡터를 $\mathbf{b}$라고 하면  다시 지구에서 두 쌍둥이가 재회하므로 두 벡터의 합은 지구에 남아 있는 쌍둥이 A의 시공간 벡터 $\mathbf{c}$와 같다.

$$ \mathbf{c}= \mathbf{a}+\mathbf{b}$$

여행을 시작해서 끝날 때까지 지구에 남아 있는 쌍둥이 A가 먹은 나이는 $|\mathbf{c}|$, 여행을 한 쌍둥이 B의 나이는 $|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$ (목적지에서 방향을 바꾸는과정이 필요하므로 이보다 약간 더 먹는다). 두 쌍둥이가 다시 만났을 때 지구에 남아 있는 쌍둥이가 더 나이가 들어 있으므로

$$ |\mathbf{c}|  \ge |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$$

이다. 양변을 제곱을 하면 다음과 같은 역 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있다(Mikowski metric의 signature에 선택에 무관하게 만들기 위해서 다시 제곱을 하였다)

$$ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \ge |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2$$