열역학 2법칙을 이용한 AM-GM Inequality 증명

열용량이 $C_i$이고 절대온도가 $T_i$인 $N$개의 물체를 열접촉을 시키자. 물체들 사이의 열교환에 의해서 시간이 충분히 지나면 모든 물체는 같은 온도 $\overline{T}$를 가지는 평형상태에 도달한다. 이때 열역학 1법칙에 의해서 각 물체가 방출하거나 흡수한 열량의 총합은 0이 되어야 한다는 사실에서 평형상태의 온도를 알아낼 수 있다.

$$  \sum C_i (T_i - \overline{T}) = 0\quad \to \quad  \overline{T} = \frac{\sum C_i T_i}{\sum C_k}$$

열전도 과정은 비가역과정이므로 열역학 2법칙에 의해서 엔트로피가 증가해야 한다. 평형상태에 이르는 과정에서 증가한 엔트로피는 다음과 같이 계산이 된다. 

$$ \Delta S = \sum \int _{T_i}^{\overline{T}} \frac{C_i dT }{T} = \sum C_i \ln\frac {\overline{T}}{T_i} \ge 0 \\ \text{or} \qquad \qquad \sum C_ i \ln \overline{T} \ge \sum C_i \ln T_i$$

양변을 열용량의 합 $\sum C_k$로 나누면 

$$ \sum p_i T_i  \ge \prod T_i^{p_i}, \qquad  0 \le p_i=\frac{C_i}{ \sum C_k} \le 1,~~\sum p_i =1$$

이어서 가중치를 가지는 AM-GM inequality가 증명된다. 등호는 처음 모든 물체의 온도가 같은 경우에 성립하는데 이때는 열교환이 없으므로 엔트로피의 변화가 없기 때문이다. 이 증명은 같은 온도, 같은 압력을 가지는 서로 다른 이상기체를 섞는 과정에서 entropy 변화를 이용해서도 보일 수 있다.