축전기 회로를 이용한 Cauchy-Schwartz 부등식 증명

$$\text{Cauchy-Schwartz Inequality:}~~|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2  \ge \left( \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \right)^2$$

이 부등식을 간단한 물리법칙을 이용해서 증명하자. 우선 그림과 같이 $N$개의 축전기가 연결된 회로가 있다. 처음 축전기에는 각각 일정한 전하가 충전되어 있고, 회로를 연결하는 스위치는 모두 열린 상태이다.

각 축전기의 전기용량을 $C_i$, 충전된 전하를 $Q_i$라면 축전기에 양극판에 걸리는 전위차는 $V_i = Q_i /C_i$로 주어진다. 전하의 상대적인 부호에 따라 전위차도 +/- 부호를 가질 수 있다. 충전과정에서 축전기에는 에너지가 제공되므로 충전된 축전기는 에너지를 가진다. 각 축전기에 저장된 에너지가 $E_i = \frac{1}{2} Q_i V_i \ge0$이므로 축전기 회로에 저장된 총에너지는

$$ E_\text{initial} = \frac{1}{2} \sum Q_i V_i$$

이제 회로의 모든 스위치를 닫으면 각 축전기의 전위차 때문에 전하의 재분배가 발생하는 데 ($Q_i \to Q'_i$), 이 과정은 각 축전기의 전위차가 모두 같을 때까지( $V_i \to V_\text{eq}$) 일어난다. 물론 재분배 과정에서 회로의 저항때문에 에너지의 일부를 잃어버리지만 전하보존에 의해서 총전하량은 변함이 없어야 한다. 스위치를 닫았을 때 모든 축전기는 병렬연결이므로 등가전기용량은 $C_\text{eq} = \sum C_i = \sum Q_i/V_i $이므로 평형상태에서의 공통 전위차는 

$$ C_\text{eq} V_\text{eq} = Q_\text{total} = \sum Q_i$$

을 만족한다. 그리고 평형상태에 도달했을 때 축전기에 저장된 총 에너지를 스위치를 닫기 전 전하와 전위차로 표현하면

$$ E_\text{final} = \frac{1}{2} \sum Q'_i    V_\text{eq} = \frac{1}{2}\left(\sum Q_i \right) V_\text{eq}  = \frac{1}{2} \frac{\left( \sum Q_i \right)^2}{  C_\text{eq}} =\frac{1}{2} \frac{\left(\sum   Q_i \right)^2}{\sum Q_i/ V_i } $$

전하의 재분배 과정에서 에너지의 일부를 잃어버리므로 평형상태에서의 에너지는 항상 처음보다 클 수는 없다.

$$ E_\text{initial} \ge E_\text{final}$$

따라서

$$  \left( \sum Q_i V_i \right) \left( \sum \frac{Q_i}{V_i} \right) \ge \left( \sum Q_i \right)^2$$

축전기의 전기용량이 물리적으로 항상 양수이므로 전하와 전위차는 같은 부호를 가져야 한다. 따라서  $a_i^2 = Q_i V_i$, $b_i^2 = Q_i /V_i$로 놓으면 다음과 같은 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있다.

$$ \left(\sum a_i^2 \right) \left(\sum b_i^2 \right) \ge \left( \sum   a_i b_i \right)^2$$

여기서 등호는 축전기의 처음 전위차가 모두 같은 경우로 이때는 스위치를 닫아도 전류의 흐름이 생기지 않아 에너지의 손실이 발생할 수 없는 경우에 해당한다. 이 부등식은 전하보존법칙과 물리계가 평형에 이르는 과정에서 에너지적으로 가장 낮은 상태로 옳겨간다는 사실을 이용하여 증명하였다.