Basel Problem

$$ \zeta(2)= \frac{1}{1^2 } + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...= \frac{\pi^2}{6} = 1.644934067...$$

우선 수열이 자연수 역제곱의 합으로 주어진다는 사실에 주목하자. 전구에서 나오는 빛의 밝기가 거리의 제곱에 비례해서 감소하는 사실을 상기하면  원점에서 자연수 거리만큼 떨어진 지점에 무한히 많은 전구를 놓았을 때 원점에서 밝기와 연관시킬 수 있을 것이다. 이 밝기를 구하기 위해서 한 개의 전구와 동일한 밝기를 주는 두 개의 전구의 기하학적 배치를 고안하자. 이 방법으로 원래의 전구를 2개의 다른 지점의 전구로 대체하는 과정을 반복하면 같은 밝기를 주는 무한히 많은 전구 배치를 찾을 수 있다.

 

아래 그림의 O에서 볼 때 지름이 $d_1 = \frac{2}{\pi}$인 원(제일 작은 원)에서 반대편 A(원호를 따라 거리 1만큼 떨어진 지점)에 놓인 전구에 의한 밝기는 이전보다 지름이 2배 더 큰 원($d_2=\frac {4}{\pi}$, 중간 원) 상의 B1, B2(역시 원호를 따라 거리 1만큼 떨어진 지점)에 같은 전구 두 개가 있을 때와 같다. 이는 전구의 밝기가 거리 제곱에 반비례함과 역피타고라스 정리

$$\frac{1}{\overline{OA}^2} = \frac{1}{\overline{OB_1}^2} + \frac{1}{\overline{OB_2}^2}$$를 고려하면 쉽게 알 수 있는 사실이다. 전구의 절대밝기를 1로 하면  두 경우 모두 밝기는

$$ \text{brightness at O} = \frac{1}{d_1^2} = \frac{\pi^2}{4}$$

이다. 원의 지름을 다시 2배 키우고($d_3 = \frac{8}{\pi}$) 중심과 B1을 지나는 대각선이 만나는 점을 C1, C3이라 할 때 이 지점에 두 개의 전구를 놓았을 때 밝기는 B1에 1개 놓인 전구의 밝기와 같음을 역파타고라스 정리로 알 수 있다.

$$\frac{1}{\overline{OB_1}^2} = \frac{1}{\overline{OC_1}^2} + \frac{1}{\overline{OC_3}^2}$$

마찬가지로 중심과 B2를 지나는 대각선이 만나는 점을 C2, C4라 하면 이 지점에 놓인 전구는 B2에 놓인 전구와 같은 밝기를 준다. C1,C2,C3,C4는 큰 원을 4 등분하고, O에서 원주를 따라서 거리는 $1, 3$(좌우 두 배)으로 주어진다. 다시 원을 2배 더 키우고 동일한 과정을 거치면 원주를 균일하게 분할하는 8개의 점을 얻고, O에서 원주를 따라 점까지 거리는 각각 $1, 3, 5, 7$ (좌우 두 배)임을 알 수 있다. 즉, 균등분할된 점들의 사이거리는 항상 2로 고정이 된다.

이 과정을 계속하면 결국 원의 반지름은 무한히 커져서 직선에 가까워지게 된다. 이 경우 O에서 각 전구까지 거리는 홀수로 주어지므로 밝기는 다음과 같이 쓸 수 있다: 

$$\text{brightness at O}=  \frac{\pi^2}{4} = 2 \times \left(  \frac{1}{1^2 } + \frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...\right) \\ \therefore~I_\text{odd} = \frac{\pi^2}{8}=\frac{1}{1^2 } + \frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+...$$

이제 원래 구하려던 자연수만큼 떨어진 지점에 놓인 전구에 의한 밝기를 $I = \frac{1}{1^2 } + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...$라 할 때, 여기에 $\frac{1}{4}$를 곱하면 짝수거리에 놓인 전구에 의한 밝기를 얻을 수 있다.$$ I_\text{even} = \frac{1}{2^2 } + \frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+... = \frac{1}{4}\times I$$ 따라서 $$ I = I_\text{odd} + I_\text{even}= \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{4}I ~~\to~~\therefore~I = \frac{\pi^2}{6}$$을 얻을 수 있다.