Fermat Point

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Fermat point - Wikipedia

삼각형의 세 꼭짓점에서 거리의 합이 최소인 점을 Fermat point라 한다. 이를 물리적인 방법을 동원해서 찾아보자. 같은 무게의 추가 매달린 세 개의 줄을 묶은 후 수평으로 놓인 삼각형의 꼭짓점에서 설치된 도르래에 걸친다. 추에 걸린 중력 때문에 세 줄이 묶인 매듭은 어느 정도 움직이다 결국에서는 평형상태(정지)가 될 것이다(정지하기 위해서는 공기 저항 등에 의해서 에너지 일부를 잃어버리는 과정이 있을 것이다). 이 평형상태는 에너지가 가장 낮은 상태로 움직임이 없는 경우에는 중력의 위치에너지가 최소가 되어야 한다. 그리고 중력 위치에너지가 최소가 되려면 도르래 아래로 늘어진 줄의 길이가 최대가 되어야 한다. 추를 묶은 줄의 길이가 일정하므로 매듭에서 꼭짓점까지의 거리의 합은 이때 최소가 될 것이다. 그리고 추의 무게가 모두 같으므로 줄에 걸린 장력도 같은 하는데, 힘의 평형상태가 되려면 매듭과 줄이 만드는 세 개의 각은 모두 120도가 되어야 한다(Lami 정리=사인 정리). 물론 삼각의 한 내각이 120도를 넘는 경우에는 힘의 평형에 도달하지 못하므로 매듭은 그 꼭짓점으로 향하게 된다. 즉, 이 경우 Fermat point는 내각이 120도를 넘는 꼭짓점이 된다.