삼각형 내부에 외접원의 중심이 포함될 확률은?

반지름이 1인 원주 위의 임의의 세 점을 선택하여 만든 삼각형이 원의 중심을 포함할 확률을 구하자. 단위원은 세 점이 만드는 삼각형의 외접원이 된다. 답을 구하기 전에 먼저 단위 길이의 구간에서 두 점을 선택하여 만든 소구간이 단위길이 구간의 중심을 포함할 확률은 먼저 구하자. 소구간이 중심을 포함하기 위해서는 왼쪽 점은 $[0,\frac{1}{2}]$에서 선택하고, 오른쪽 점은 $[\frac{1}{2},1]$에서 선택하면 항상 단위구간의 중심을 포함할 수 있다. 이 확률은 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}$이고, 왼쪽과 오른쪽이 바뀌어도 되므로 2배를 곱해주어야 한다. 따라서 확률은 $2\times \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$이다. (또는 두 점이 왼쪽 절반이나 오른쪽 절반에만 있으면 중심이 바깥에 있는데 이때 확률이 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 2$이어서 중심을 포함할 확률은 $1-\frac{1}{2}$)

 

단위원 위에서 선택된 세 점($P,Q,R$)으로 만든 삼각형을 원의 중심에 대해서 임의의 각도로 회전할 수 있는 자유도가 있으므로 먼저 한 점 $P$를 고정시켜야 한다. 나머지 두 점 $Q$와 $R$은 독립적으로 $P$와 단위원 중심($C$)을 통과하는 대각선의 어느 서로 반대편에 놓여야 하고, 또 $Q$와 $R$을 서로 교환할 수 있으므로 이 배치 확률은 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 2=\frac{1}{2}$이다. $Q,R$이 대각선의 반대편에 놓이더라도 여전히 반원의 임의 지점으로 움직일 자유도가 있다. $x=\mathrm{\angle }PCQ$, $y=\mathrm{\angle }PCR$이라면 삼각형 $PQR$이 중심을 포함하기 위해서는 두 각의 합이 $x+y\ge \pi$이어야 함을 쉽게 알 수 있다. 그런데 $0\le x,y\le \pi$이므로 $x+y\ge \pi$인 영역의 면적은 두 각이 취할 수 있는 영역의 절반이다.(좀 더 단순하게는 선분 $PQ$가 중심 오른쪽에 있으면 되므로 확률이 $\frac{1}{2}$) 따라서 삼각형 내부에 중심이 포함될 확률은 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$임을 알 수 있다.

그러면  3차원 사면체 내부에 외접구면의 중심이 포함될 확률은 어떻게 될까? 우선 4점 $P,Q,R,S$가 정해지면 회전시켜도 동일하므로 한 점 $P$를 북극으로 고정하자. 이 경우 $P$에서 중심 $C$를 잇는 대각선이 우선 나머지 삼각형 $QRS$을 통과해야 사면체가 $C$을 포함할 수 있다. 선분 $PC$가 삼각형 $QRS$ 내부를 통과할 확률은 $P$에서 삼각형의 각 꼭짓점을 연결하는 자오선이 적도면에 만드는 삼각형 내부에 이 삼각형의 외접원 중심인 구면 중심이 포함될 확률과 같다. 앞서 외접원 결과를 사용하면 삼각형 $QRS$가 선분 $PC$와 만날 확률은 $\frac{1}{4}$이다. 이 삼각형의 면에서 $P$에 가까운 쪽에 중심이 놓일 때 사면체가 구면의 중심을 포함하는데 그 확률이 $\frac{1}{2}$이므로 전체 사면체 내부에 외접구면 중심이 들어갈 확률은 $\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$이다.

일반적인 $N$차원으로 확장하면? 답은 $\frac{1}{2^N}$임을 예측할 수 있다. 증명은?