Viviani's Theorem

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정삼각형 내부 한 지점에서 세 변에 내린 수선의 길이 합은 항상 일정하다(역도 성립한다).  기본적인 물리법칙을 이용하면 이 사실을 쉽게 보일 수 있다. 같은 무게의 추가 달린 세 줄을 묶아 매듭을 만든 후 정삼각형의 각 변에 줄이 걸치도록 설치한다. 각 줄에 걸리는 추의 중력에 의한 장력이 같으므로 매듭을 기준으로 세 줄은 서로 120도의 각을 이룰 때 평형이 되어 더 이상 움직이지 않게 된다(Lami의 법칙). 120도 조건만 만족하면 힘의 평형상태이므로 매듭이 정삼각형의 어느 지점에 있더라도 움직이지 않게 된다. 그런데 평형상태는 중력 위치에너지가 가장 낮아지는 상태에 해당하고, 그 값은 삼각형의 아래로 늘어진 줄 길이의 합에 비례한다. 매듭의 위치가 바뀌면 각 줄의 늘어진 길이는 달라질 수 있지만 중력위치에너지는 변하지 않아야 하므로 그 합은 같아야 한다(추가: 수선 조건을 유지하면 매듭의 위치를 미소변위만큼 이동시킬 때 위치에너지 차이가 있다면 매듭에 힘이 작용한다는 의미이므로 평형조건에 위배된다. 힘은 위치에너지함수의 -gradient이기 때문이다). 그런데 각 줄의 길이가 고정되어 있으므로 삼각형 위쪽에 있는 줄의 길이의 합도 고정되어야  함을 알 수 있다. 이 줄의 합은 실제로 한 꼭짓점에서 내린 수선의 길이와 같음은 매듭이 한 꼭짓점에 접근할 때를 생각해 보면 쉽게 알 수 있다. 힘의 평형조건을 고려하면 역도 성립함을 쉽게 알 수 있다. 그리고 일반적인 등각다각형에 대해서도 성립한다.