AM-GM Inequality

질량 $M_*$이고, 반지름이 $R_*$인 행성의 표면에 그림과 같이 밑변이 서로 연결된 $N$개의 물기둥(communicating vessels)을 고려하자. 각 물기둥의 단면적은 $A_i$이고, 처음 물기둥의 (별의 중심에서 잰) 높이는 $R_i  \ge R_*$로 되어 있다. 이웃하는 물기둥을 연결하는 밸브를 열기 전 물기둥에 담긴 물의 중력위치에너지는 (물의 밀도 $\rho$)

$$ U_\text{initial} = -\sum \int_{R_*}^{R_i} \frac{GM_*  \rho A_i dr}{r} = -GM_* \rho \sum A_i \ln \left( \frac{R_i}{R_*}  \right) $$

이제 관을 연결하는 밸브를 모두 열면 수압의 차이에 의해서 각 물기둥 사이에 물의 교환이 생기게 되고, 결국에는 모든 물기둥의 높이는 공통의 값 $R_i \to \overline{R}$을 가지게 되어 더 이상 물의 교환이 생기지 않는 평형상태에 도달한다. 이 과정에서 물의 총량(총 부피)은 보존이 되므로 

$$ \sum A_i (R_i - R_*) = \sum A_i ( \overline{R} - R_*) $$

를 만족하므로 평형상태에서 물기둥의 높이는
$$ \overline{R}  = \frac{\sum A_i R_i }{\sum A_i} = \sum p_i  R_i,\qquad p_i \equiv \frac{A_i}{\sum A_k }$$

물기둥이 평형에 이르기 위해서는 일부 에너지를 마찰등에 의해서 일어버리는 과정이 있어야 한다. 그렇지 않으면 각각의 물기둥은 영원히 출렁거리게 된다. 평형이 이르는 물리적인 프로세스가 다음의 부등식이 항상 성립함을 보증함을 알 수 있다.

$$ U_\text{initial} \ge U_\text{final}\\ -GM_*\rho\sum A_i  \ln \left( \frac{R_i }{R_*} \right) \ge  -GM_* \rho \sum A_i \ln \left( \frac{\bar{R}}{R_*} \right) $$

등호는 처음 물기둥의 높이가 모두 같은 경우에 성립한다.  이 식을 다시 정리하면 각각의 물기둥의 단면적으로 가중치를 준 물기둥 높이의 산술평균(arithmatic mean)은 기하평균(geometric mean)보다도 크거나 같다는 것을 보여준다.

$$ \overline{R}  \ge     \prod R_i^{p_i}$$

$R_i$가 일반적인 양의 실수이므로 위 부등식은 일반적인 양의 실수 사이의 가중치 산술평균과 기하평균 사이에 다음의 부등식이 성립함을 의미한다.

$$ \sum p_i R_i \ge \prod R_i^{p_i},\qquad \left( \sum p_i =1, ~p_i \ge0 \right)$$

이 부등식은 수학적인 증명 대신 물리계인 communicating vessels 시스템이 평형상태에 도달하는 과정에서 물의 양은 보존되지만, 평형상태에 이르는 과정에서 계가 항상 더 낮은 에너지 상태로 옳겨간다는 사실만을 이용하여 보였다.

 

이제 물기둥 시스템의 크기가 행성의 크기보다 매우 작을 때를 고려하자. 즉, 행성 표면에서 잰 물기둥의 높이가 $h_i = R_i - R_*  \ll R_*$인 경우 앞의 결과를 $h_i^2$의 order까지 전개하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$-\frac{GM_*\rho}{R_*^2 }  \sum A_i \left(  R_*\bar{h}  -\frac{1}{2}\bar{h}^2  \right) \ge 
-\frac{GM_* \rho}{R_*^2 }\sum A_i   \left(R_* {h_i} -\frac{1}{2} {h_i^2}\right)$$

$\sum A_i \overline{h}= \sum A_i h_i$이므로 

$$ \frac{ \sum A_i h_i^2}{ \sum A_j} \ge \bar{h}^2$$

따라서, $x_i^2= A_i h_i^2$, $y_i^2 = A_i$로 놓으면, $\bar{h}^2 = (\sum A_i  h_i  )^2/ (\sum A_k )^2 = (\sum x_i y_i )^2/(\sum y_i^2 )^2$이므로 위의 결과에서 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있음을 알려준다. $$\left( \sum x_i^2  \right)\left(\sum y_i^2\right) \ge \left(\sum x_i y_i\right)^2 $$