Geometry & Recognition

다음 적분을 물리법칙을 이용해서 구하라.

$$I={\int }_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi$$

풀이: 결과는 치환적분을 이용해서 구할 수 있지만(또는 더 간편하게 contour integral: https://kipl.tistory.com/182), 단순조화진동에 대한 물리법칙을 알고 있으면 복잡한 연산없이 답을 바로 구할 수 있다. 탄성위치에너지가 $U(x)=\frac{1}{2}(x-a)(x-b)$일 때 역학적 에너지가 $E=0$인 입자(질량 $m=1\text{kg}$)는 $x=a$와 $x=b$ 사이에서 단순조화진동을 한다. 이 때 진동의 주기 $T$는

$$T=2{\int }_a^b\frac{dx}{\sqrt{2(0-U(x))}}=2{\int }_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$$

로 표현된다. 그런데 단순조화진동에서 용수철 상수는 포텐셜 함수의 2차 미분계수($k=1$)이므로 진동주기가  $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi$로 주어진다. 따라서 위 적분값은 $\pi$이다. 

chatgpt에게 시켰을 때 결과:

길이 $L$인 고무줄의 한쪽이 벽에 고정되어 있다. 반대편 끝을 당겨서 일정한 속도 $V$로 움직이기 만든다. 끝을 당기는 시점에 고무줄의 끝에 있던 벌레가 벽을 향해서 기어간다. 벌레는 고무줄에 대해서 $u$의 일정한 속력으로 움직인다. 고무줄이 모두 지점에서 균일하게 늘어나는 경우 벌레가 벽에 도달하는 데 걸리는 시간은?

시간이 $t$일 때 벌레의 위치를 $x(t)$라면, 벌레 위치에서 고무줄이 늘어나는 속도(오른쪽)는 

$$V\frac{x(t)}{L+Vt}$$

이고, 벌레가 움직이는 속도는 이 속도에서 고무줄에 대해 상대적으로 움직이는 속력 $u$(왼쪽)를 빼면 되므로

$$v_{\text{bug}}=V\frac{x(t)}{L+Vt}-u=\frac{dx}{dt}$$

이다. 1차 미분방정식이므로 적분인자 $\exp [-\int \frac{1}{L/V+t}dt]=\frac{1}{t+L/V}$을 양변에 곱하면 

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{x(t)}{t+L/V}\right)=-\frac{u}{t+L/V}$$

로 쓸 수 있으므로 벌레의 위치는 

$$x(t)=(Vt+L)(1-\frac{u}{V}\ln \frac{Vt+L}{L})$$

따라서 벽에 도달하는 데 걸리는 시간은 

$$t_{\text{wall}}=\frac{L}{V}(e^{V/u}-1)$$

로 주어진다. 고무줄의 늘어나는 속력이 아무리 빨라도 결국에서는 벌레는 벽에 도달할 수 있다. 물론 고무줄 끝이 늘어나는 속도가 커지면 시간이 지수함수적으로 늘어나기는 하지만... 그리고 늘어나는 속력이 매우 작거나 아니면 벌레의 상대속력이 매우 큰 경우에는  $t_{\text{wall}}\to L/V$로 고무줄의 늘어남에 거의 무관하게 된다.

반지름이 $R$인 구형 축전기가 있다. 다른 물체와 충돌로 인해 표면의 일부가 안으로 찌그러져 버렸다. 찌그러져 패인 부분의 부피가 이전의 1% 정도 일 때 축전기 용량은 어떻게 변할까?

1. 1% 증가
2. 1% 감소
3. 0.5% 증가
4. 0.5% 감소
5. 0.333% 증가
6. 0.333% 감소

풀이: 반지름 $R$인 구형 축전기의 전기용량은 $C=4\pi {ϵ}_{0}R$로 주어진다. 전하 $Q$로 충전된 축전기에 저장된 전기에너지가 $U=\frac{Q^2}{2C}$이다. 전하를 일정하게 유지하면서 전기용량이 변하면 $\mathrm{\Delta }U=-\frac{Q^2}{2C}\frac{\mathrm{\Delta }C}{C}$이므로 전기용량이 감소하면 저장된 에너지가 증가한다. 구형 축전기 내부에는 전기장이 없지만 외부에는 전기장이 형성되어 있으므로, 내부로 찌그러지면 전기장이 있는 영역이 증가하므로 축전기가 저장한 에너지가 증가하게 된다 (찌그린 외력이 일부 에너지를 제공했음). 구형 축전기의 패인 부분이 작으면 그 부분에서 전기장은 표면에서 전기장으로 근사를 할 수 있다. 표면에서 전기장이 $E_{\text{surface}}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{R^2}$로 주어진다. 그러면 찌그러진 부분에 저장된 에너지는 $$\mathrm{\Delta }U\approx \left(\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}_{\text{surface}}^2\right)\times \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)\times \frac{1}{100}$$

로 근사되므로

$$\frac{\mathrm{\Delta }C}{C}=-\frac{1}{300}$$

 임을 확인할 수 있다.