Geometry & Recognition

이전 포스트에서 타원의 한 초점에서 나오는 빛은 타원에서 반사가 되면 다른 초점으로 모임을 보였다. 타원의 한 지점에서 접선벡터와 입사광선이 이루는 각이 접선벡터와 반사광의 이루는 각과 같음을 의미한다. 이를 물리적으로 증명하자. 그림과 같이 평면에 높인 타원이 있고, 타원의 한 지점에 길이 $L$인 줄을 걸친 후 두 초점을 통과하도록 만든다. 이제 초점을 통과한 줄 끝에 같은 무게의 추를 매단다. 두 추의 무게가 같으므로 추는 움직이지 않는 평형상태이고, 초점에서 매듭까지 거리를 각각 $d_1, d_2$라면 평면 아래로 늘어진 길이가 $L-d_1-d_2$이므로 두 추의 총 중력위치에너지는 $U=(d_1 +d_2 - L)mg$로 써진다.

그런데 타원상의 임의의 지점에서 $d_1 +d_2=\text{const}$이므로 중력위치에너지는 일정하게 된다. 따라서 추의 중력 때문에 줄에 생기는 장력은 타원의 접선방향 성분은 없고 오직 타원의 접선에 수직한 성분만을 만든다(힘은 위치에너지의 그래디언트임). 줄이 매듭에 작용하는 장력(매듭에서 각 초점을 향하는 방향이다)을 각각 $\vec{T}_1$, $\vec{T}_2$라면, $\vec{T}_1+\vec{T}_2$는 매듭 위치에서 타원의 법선방향이어야 한다. 이는 $\vec{T}_1$과 $\vec{T}_2$의 접선성분이 같음을 의미하므로 두 줄이 접선과 이루는 각이 같게 되어 반사법칙을 보일 수 있게 된다.

초점의 위치가 각각 $\vec{a}$, $\vec{b}$인 타원이 있을 때 두 초점에서 타원상의 한 위치 $\vec{r}$까지 거리의 합은 항상 일정한 값을 가진다. 

$$ |\vec{r} - \vec{a}| + |\vec{r} - \vec{b}| = \text{const}$$

타원은 적당한 매개변수를 이용해서 매개화시킬 수 있으므로 이 매개변수에 대해서 윗식을 미분하자.

$$ \dot{\vec{r}} \cdot \frac{ \vec{r}- \vec{a}}{| \vec{r}-\vec{a}|} + \dot{ \vec{r}} \cdot \frac{\vec{r}-\vec{b}}{ | \vec{r}-\vec{b} |} = 0$$

$\frac{ \vec{r}- \vec{a}}{| \vec{r}-\vec{a}|}$는 초점 $\vec{a}$에서 $\vec{r}$을 향하는 단위벡터이고,  $\frac{\vec{r}-\vec{b}}{ | \vec{r}-\vec{b} |} $는 초점 $\vec{b}$에서 $\vec{r}$을 향하는 단위벡터다. 이 두 단위벡터가 $\vec{r}$ 위치에서 접선벡터 $\dot{\vec{r}}$과 이루는 각을 각각 $\theta_a$, $\theta_b$라면

$$ \cos \theta_a + \cos \theta_b = 0$$임을 의미한다. $\cos\theta_a +\cos \theta_b = 2 \cos\frac{\theta_a + \theta_b}{2} \cos \frac{\theta_a -\theta_b}{2}$이므로 

$$ \theta _a + \theta _b = \pi$$

임을 알 수 있다.

타원이 빛을 반사하는 특성이 있다고 하면 한 초점에서 발사된 빛은 타원에서 반사한 후에 다시 다른 초점으로 들어감을 의미한다. 빛이 움직이는 경로의 길이가 모두 같으므로 한 초점에서 동시에 발사된 빛은 어느 방향을 향하는지에 상관없이 같은 시간에 다른 초점에 모이게 된다. 지붕과 벽면이 타원형으로 설계된 공연장에서 가수가 한 초점에서 노래를 부르면 반대편 초점에 앉은 관객에게는 마이크가 없더라도 다른 위치보다 상대적으로 더 잘 들리게 된다.