다음 적분을 물리법칙을 이용해서 구하라.
$$I = \int _{a}^{b} \frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}=\pi$$
풀이: 결과는 치환적분을 이용해서 구할 수 있지만(또는 더 간편하게 contour integral: https://kipl.tistory.com/182), 단순조화진동에 대한 물리법칙을 알고 있으면 복잡한 연산없이 답을 바로 구할 수 있다. 탄성위치에너지가 $U(x) = \frac{1}{2}(x-a)(x-b)$일 때 역학적 에너지가 $E=0$인 입자(질량 $m=1\text{kg}$)는 $x=a$와 $x=b$ 사이에서 단순조화진동을 한다. 이 때 진동의 주기 $T$는
Integration along a branch cut-004
복소함수 을 그림과 같은 contour에 대해서 적분을 한다. $f(z)$는 $z=0, 1$이 branch point이므로 그림처럼 branch cut을 선택한다. $C_1$에서 이므로 $C_3$에서 이므로 그리고, $C_2, C_4$에서 $$\int f(z) = O(\sqrt{\eps
kipl.tistory.com
$$ T = 2\int_a^b \frac{dx}{\sqrt{2(0-U(x))}} = 2 \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$$
로 표현된다. 그런데 단순조화진동에서 용수철 상수는 포텐셜 함수의 2차 미분계수($k=1$)이므로 진동주기가 $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}= 2\pi$로 주어진다. 따라서 위 적분값은 $\pi$이다.
chatgpt에게 시켰을 때 결과:
\[ I = \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} \, dx, \]
we can use a substitution to simplify it.
### Step-by-Step Solution:
1. **Substitution:**
Let’s use the substitution \( x = a + (b-a)t \), where \( t \) ranges from 0 to 1. This maps the interval \([a, b]\) to \([0, 1]\). Therefore: \[ dx = (b-a) \, dt. \] Also, \[ x - a = (b-a)t, \] \[ b - x = b - (a + (b-a)t) = b - a - (b-a)t = (b-a)(1 - t). \]
2. **Substitute into the Integral:**
Substituting these into the integral gives: \[ I = \int_{0}^{1} \frac{(b-a) \, dt}{\sqrt{(b-a)t \cdot (b-a)(1 - t)}}. \]
3. **Simplify the Expression:** \[ \sqrt{(b-a)t \cdot (b-a)(1 - t)} = (b-a) \sqrt{t(1 - t)}. \] So: \[ \frac{1}{\sqrt{(b-a)t \cdot (b-a)(1 - t)}} = \frac{1}{(b-a) \sqrt{t(1 - t)}}. \] Thus, the integral becomes: \[ I = \int_{0}^{1} \frac{(b-a) \, dt}{(b-a) \sqrt{t(1 - t)}}. \] The \((b-a)\) terms cancel out: \[ I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t(1 - t)}} \, dt. \]
4. **Recognize the Standard Integral:**
The integral \(\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t(1 - t)}} \, dt\) is a standard integral. It is known to be: \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{t(1 - t)}} \, dt = \pi. \]
5. **Conclusion:**
Therefore, the integral evaluates to: \[ I = \pi. \]So the result of the integral is:\[ \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} \, dx = \pi. \]
붉은색 부분이 왜 그런지 설명이 없다.
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