Geometry & Recognition

초점의 위치가 각각 $\vec{a}$, $\vec{b}$인 타원이 있을 때 두 초점에서 타원상의 한 위치 $\vec{r}$까지 거리의 합은 항상 일정한 값을 가진다.

$$|\vec{r} - \vec{a}| + |\vec{r} - \vec{b}| = \text{const}$$

타원은 적당한 매개변수를 이용해서 매개화시킬 수 있으므로 이 매개변수에 대해서 윗식을 미분하자.

$$\dot{\vec{r}} \cdot \frac{ \vec{r}- \vec{a}}{| \vec{r}-\vec{a}|} + \dot{ \vec{r}} \cdot \frac{\vec{r}-\vec{b}}{ | \vec{r}-\vec{b} |} = 0$$

$\frac{ \vec{r}- \vec{a}}{| \vec{r}-\vec{a}|}$는 초점 $\vec{a}$에서 $\vec{r}$을 향하는 단위벡터이고,  $\frac{\vec{r}-\vec{b}}{ | \vec{r}-\vec{b} |}$는 초점 $\vec{b}$에서 $\vec{r}$을 향하는 단위벡터다. 이 두 단위벡터가 $\vec{r}$ 위치에서 접선벡터 $\dot{\vec{r}}$과 이루는 각을 각각 $\theta_a$, $\theta_b$라면

$$\cos \theta_a + \cos \theta_b = 0$$ 임을 의미한다. $\cos\theta_a +\cos \theta_b = 2 \cos\frac{\theta_a + \theta_b}{2} \cos \frac{\theta_a -\theta_b}{2}$이므로 

$$\theta _a + \theta _b = \pi$$

임을 알 수 있다.

두 초점에서 각각 타원의 한 지점까지 연결하는 선분이 그 점에서 접선과 이루는 각이 같으므로, $\theta_a= \pi-\theta_b$, 거울이 타원면 형태의 곡면으로 만들어졌다면 한 초점에서 발사된 빛은 타원에서 반사한 후 다시 다른 초점으로 모일 수 있음을 의미한다. 빛이 움직이는 경로의 길이가 모두 같으므로 한 초점에서 동시에 발사된 빛은 어느 방향을 향하는지에 상관없이 같은 시간에 다른 초점에 모이게 된다. 지붕과 벽면이 타원형으로 설계된 공연장에서 가수가 한 초점에서 노래를 부르면 반대편 초점에 앉은 관객에게는 마이크가 없더라도 다른 위치보다 상대적으로 더 잘 들리게 된다.