Jensen's Inequality

Communicating vessels 시스템을 이용하면 수학적으로 매우 중요한 여러 가지 부등식을 간단히 물리법칙을 이용해서 증명할 수 있는데 여기서는 Jessen 부등식을 보이자. Jensen 부등식은 convex 함수 $F(x)$가 있을 때 주어진 값들의 convex combination에서의 함숫값은 각각의 점에서 함숫값의 convex conbination보다 클 수 없다는 것을 나타낸다.

$$ F \left( \sum p_i x_i\right) \le  \sum p_ i F(x_i),  \qquad  \sum p_i = 1, ~~ 0 \le p_i \le 1$$

물론 함수가 concave면 부등식은 반대로 적용된다. 

이를 물리법칙을 이용해서 증명하기 전에 먼저 높이에 따라 단면적이 달라지는 한 물기둥(기준 물기둥)을 고려하자. 높이 $y$일 때 물기둥에 담긴 물의 총량을 $m(y)$라고 하면 이는 높이 $y$의 증가함수이다: $dm/dy > 0$. 이제 이 기준 물기둥의 단면적을 각각 $w_i$배만큼 늘려진 모양을 갖는 물기둥 $N$개를 준비한 후, 각 기둥의 맨 아래 부분이 서로 연결할 수 있게 밸브를 설치해서 그림과 같은 communicating vessels 시스템을 만든다.

밸브가 열리기 전 $i-$번째 물기둥의 높이를 $y_i$라면 담긴 물의 양은 $M_i (y_i) =w_i m(y_i) \equiv w_i m_i $가 된다. 그리고 물의 총량은 $M_\text{tot} = \sum M_i(y_i) = \sum w_i m_i$이다.

communicating vessels

밸브를 열면 물기둥 사이의 수압의 차이에 의해서 물이 이동하게 되고 이 과정에서 에너지의 감쇄로 인해 모든 물기둥의 높이가 같아지는 평형상태에 도달한다.  물의 총량은 보존되어야 하므로 평형상태의 물기둥의 높이를 $\overline{y}$라면 

$$ \sum M_i (y_i) = \sum M_i (\overline{y})\quad \to \quad m(\overline{y}) = \frac{\sum w_i m_i }{\sum w_k}$$

밸브를 열기 전 물기둥 속 물의 총 중력위치에너지는 

$$ PE_\text{initial} = \sum w_i g \int_0^{y_i} y dm = \sum w_i U (y_i)$$

여기서 높이 $y$일 때 기준 물기둥의 단면적를 $A(y)$라면 기준 물기둥 속 물의 위치에너지와 물의 질량은 각각

$$U(y) \equiv g \int_0^y y' dm '=g \int_0^{y} \rho y'A(y') dy'   \\ m(y) = \int_0^y \rho A(y') dy'$$

밸브를 열어 평형상태에 도달한 이후 물의 총 중력위치에너지는

$$ PE_\text{final} = \sum w_i U(\overline{y})$$

평형상태에 이르는 과정에서의 에너지 손실을 고려하면 $PE_\text{final} \le PE_\text{initial}$이므로

$$     U( \overline{y}) \le \frac{\sum w_i U(y_i) }{\sum w_k} $$

임을 알 수 있다.

물기둥에 담긴 물의 양이 높이의 증가함수이므로 $U$는 물의 양 $m$의 함수로 생각할 수 있다. 또한 단면적을 선택할 수 있는 자유도가 있으므로 $U$에 대해서 사전에 특별한 제약조건이 주어지지는 않았다. 그렇지만

$$\frac{dU}{dm} = \frac{dU/dy}{dm/dy} = gy \\ \frac{d^2 U}{dm^2 }= \frac{g}{dm/dy} >0$$

이어서 $U$가 $m$에 대해서 convex 함수임을 볼 수 있다. 이제 높이 대신 $m$으로 표현하면

$$ U(\overline{m}) \le \sum p_i U(m_i),\qquad 0\le p_i = \frac{w_i }{ \sum w_k} \le1$$

또는

$$ U \left( \sum p_i m_i \right) \le \sum p_i U(m_i),\qquad \left(\sum p_i=1,~~0\le p_i \le1 \right)$$

을 얻는다. 등호는 모든 물기둥의 처음 높이가 같아서 처음부터 평형상태에 있는 경우에 해당한다. 다시 언급하지만 수학적인 방법을 동원하지 않고, 질량 보존법칙과 물리계가 평형상태에 이루는 과정에서 에너지적으로 가장 낮은 상태로 향한다는 자명한 물리법칙을 이용해서 증명하였다.

Convex 함수로 $U(x) = -\log(x)$를 선택하면(note: $d^2 U/dx^2 = 1/x^2 >0$) Jensen의 부등식에서 아래처럼 산술평균-기하평균에 관한 부등식을 얻을 수 있다.

$$ - \log ( \sum p_i m_i ) \le -\sum p_i \log (m_i) \\ \to \sum p_i m_i \ge \prod m_i^{p_i}~~:\text{AM-GM Inequality}$$