Communicating vessels 시스템을 이용하면 수학적으로 매우 중요한 여러 가지 부등식을 간단히 물리법칙을 이용해서 증명할 수 있는데 여기서는 Jessen 부등식을 보이자. Jensen 부등식은 convex 함수
물론 함수가 concave면 부등식은 반대로 적용된다.
이를 물리법칙을 이용해서 증명하기 전에 먼저 높이에 따라 단면적이 달라지는 한 물기둥(기준 물기둥)을 고려하자. 높이
밸브가 열리기 전

밸브를 열면 물기둥 사이의 수압의 차이에 의해서 물이 이동하게 되고 이 과정에서 에너지의 감쇄로 인해 모든 물기둥의 높이가 같아지는 평형상태에 도달한다. 물의 총량은 보존되어야 하므로 평형상태의 물기둥의 높이를
밸브를 열기 전 물기둥 속 물의 총 중력위치에너지는
여기서 높이
밸브를 열어 평형상태에 도달한 이후 물의 총 중력위치에너지는
평형상태에 이르는 과정에서의 에너지 손실을 고려하면
임을 알 수 있다.
물기둥에 담긴 물의 양이 높이의 증가함수이므로
이어서
또는
을 얻는다. 등호는 모든 물기둥의 처음 높이가 같아서 처음부터 평형상태에 있는 경우에 해당한다. 다시 언급하지만 수학적인 방법을 동원하지 않고, 질량 보존법칙과 물리계가 평형상태에 이루는 과정에서 에너지적으로 가장 낮은 상태로 향한다는 자명한 물리법칙을 이용해서 증명하였다.
Convex 함수로
'Mathematics' 카테고리의 다른 글
Minkowski 공간에서 역 Cauchy-Schwartz Inequality (0) | 2024.07.25 |
---|---|
열역학 2법칙을 이용한 AM-GM Inequality 증명 (3) | 2024.07.23 |
AM-GM Inequality (0) | 2024.07.18 |
축전기 회로를 이용한 Cauchy-Schwartz 부등식 증명 (0) | 2024.07.15 |
Viviani's Theorem (0) | 2024.07.13 |