Geometry & Recognition

표면이 매끄러운 반구가 역시 매끄러운 바닥에 놓여있다. 반구의 꼭대기에 물체를 올려 놓은 후 살짝 충격을 주면 물체는 미끄러지는 운동을 시작한다. 물체가 반구의 표면을 떠나는 각도는? 반구가 고정된 경우는 상대적으로 쉬운 문제다.

풀이: 물체가 받는 힘은 중력과 반구가 작용하는 수직항력이고, 반구는 수평방향의 운동만 하고 수평힘은 수직항력 반작용의 수평성분이다. 수직항력과 중력의 표면수직성분이 물체의 원운동을 일으키는 구심력 역할을 하는데, 구심가속도가 속력의 제곱에 비례하므로 물체의 속력이 클수록 더 작은 각에서 떨어질 것으로 예상할 수 있다. 그런데 반구가 움직이면 처음 물체가 가지고 있던 중력위치에너지의 일부가 반구에도 할당이 되므로 물체의 속력이 상대적으로 더디게 늘어나므로 표면에서 떨어지는 각위치가 커질것으로 예상할 수 있다. 이 문제는 뉴턴 방정식을 풀어서 해결할 수도 있지만, 외력이 중력뿐이고 마찰력이 없으므로 운동량 보존과 에너지 보존을 이용하는 편이 더 쉽다. 

물체의 속도를 $v_x$(오른쪽+), $v_y$(아래+)라 하고, 반구의 수평속도는 $V$(밀리는 방향인 왼쪽+)로 하자. 수평방향 외력이 없으므로 운동량의 수평성분은 보존이 되므로 

$$ mv_x = MV$$

반구와 같이 움직이는 관찰자가 보면 물체가 표면에서 떨어지기 전까지는 표면을 따라 움직이므로 이 관찰자에게 물체의 속도 방향은 접선방향이어야 한다. 이 관찰자가 보면 물체의 속도는 $(v_x + V, v_y)$이므로 반구의 접선방향이 되기 위해서는 $$ \frac{v_y}{v_x + V} =\tan \theta \qquad \to \qquad  v_y = \left( 1+\frac{m}{M}\right) \tan \theta v_x$$

그 다음의 역학적 에너지가 보존되므로 

$$ \frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2 ) + \frac{1}{2} MV^2 = mgR (1-\cos \theta)$$

이를 이용하면 $v_x, v_y, V$을 $\theta$의 함수로 구할 수 있다.  $\xi = m/M$일 때

$$ v_x^2  = \frac{2gR(1 -\cos \theta)}{ (1+\xi)(1+ (1+\xi) \tan^2 \theta)}$$

언제 물체가 떠나는가? 물체가 반구 위에 있으면 수직항력의 수평성분때문에 속도의 $x$ 성분이 증가하지만, 일단 반구를 떠나면 수평방향 외력이 더 이상 작용하지 않으므로 $v_x$는 일정한 값이 된다. 따라서 $v_x$가 최대가 되는 $\theta$에서 물체는 반구의 표면을 떠나게 된다. $dv_x^2/d\theta =0$을 열심히 계산을 하면

$$ \xi \cos ^3 \theta - 3 (1+\xi) \cos \theta + 2 (1 + \xi)=0$$

의 근을 찾으면 된다.

$$\cos(\theta) = 2\sqrt{\frac{1+\xi}{\xi}} \cos\left[ \frac{1}{3} \cos^{-1}\left(-\sqrt{\frac{\xi}{1+\xi}}\right) -\frac{2\pi}{3}\right]$$

특별한 경우로 $m=M$이면 $\cos \theta = \sqrt{3}-1$로 $\theta \simeq 42.9^\circ$이고, $m \ll M$이면 잘 알려진 $\cos \theta = 2/3$ 즉, $\theta\simeq 48.2^\circ$이다.