Geometry & Recognition

단면적이 $S$인 호스를 반지름 $R$이 되게 구부려 반원 모양으로 만든 후 물을 흘려보내면 직선으로 펴지려고 할 것이다. 반원 모양을 유지하기 위해서 양끝을 실로 연결했을 때 걸리는 장력은? 단, 물은 일정한 속력 $v$로 흐르고 밀도는 $\rho$이다.

1. $2\rho S{v}^2$
2. $\rho S{v}^2$
3. $\frac{1}{2}\rho S{v}^2$

지름이 $d$인 열린 실린더 아래 부분에 아주 가벼운(그렇지만 잘 휘어지지 않는) 판을 밀착한 후 물 속 $h$만큼 깊이로 밀어 넣었다(판이 잘 붙어 있으면 물이 새지는 않을 것이다). 이제, 작지만 무거운 추를 판 위에 얹어 물이 샐 수 있는 틈을 만들려 한다. 추의 무게는 얼마나 되어야 할까?(어디에 놓아야 할까?) 단, 물의 밀도는 $\rho$.

1. $\frac{1}{8}\rho \pi d^{2}h$
2. $\frac{1}{4}\rho \pi d^{2}h$
3. $\frac{1}{2}\rho \pi d^{2}h$

길이 $L$인 막대가 벽과 바닥에 닿은 상태로 미끄러져 내려올 때 중심이 그리는 자취는 반지름이 $L/2$인 원임을 쉽게 알 수 있다. 그럼 막대가 연속적으로 접하는 곡선은 어떤 형태일까?

막대가 수평과 $\theta$만큼 각을 이룰 때 접점의 위치를 $(x(\theta ),y(\theta ))$라면, 접선조건에서

$$\frac{y^{\prime }(\theta )}{x^{\prime }(\theta )}=-\tan \theta$$ 

이고 막대를 통과하는 직선의 방정식은

$$\frac{x}{\cos \theta }+\frac{y}{\sin \theta }=L$$

이 두 방정식을 연립하면 답은 쉽게 찾을 수 있다.

$$x=L{\cos }^3\theta ,y=L{\sin }^3\theta$$

또는 매개변수 $\theta$를 없애면,

$${\left(\frac{x}{L}\right)}^{2/3}+{\left(\frac{y}{L}\right)}^{2/3}=1$$ 마찰이 없는 경우 막대는 바닥까지 벽을 타고 내려가지 못하고 중간에 이탈한다.