단위구 내부점 사이의 평균 거리역수(mean reciprocal distance between points in a unit ball)

구 내부에서 두 지점 간 사이거리의 역수를 구한 후 평균을 내면 얼마의 값을 가질까? 이를 위해서 단위구를 생각하자.

단위구 내부의 임의의 두 위치를 ${\overrightarrow{r}}_1$, ${\overrightarrow{r}}_2$라고 하면 각 위치를 포함하는 미소부피 $d{r}_i^3$가 단위구 내에서 선택될 확률이 $d{r}_i^3/B_1$ ($B_1$=volume of unit ball= $\frac{4\pi }{3}$)이므로 두 지점이 선택될 확률은 $d{r}_1^{3}d{r}_2^3/B_1^3$이다. 두 위치의 사이거리는 $|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|$이므로 거리 역수의 평균은 

$${⟨\frac{1}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}⟩}_{\text{unit ball}}=\frac{1}{B_1^2}{\iint }_{\text{unit ball}}\frac{d{r}_1^{3}d{r}_2^3}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=?$$

먼저 $r_2$에 대해서 적분을 수행하면, 좌표계는 임의로 잡을 수 있으므로 ${\overrightarrow{r}}_2$의 극좌표를 ${\overrightarrow{r}}_1$을 $z$ 축으로 선택한 경우와 동일하게 잡자. 그러면 cosine 정리에 의해 사이거리 역수는 

$$\frac{1}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=\frac{1}{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta }}$$이므로 $r_2$ 적분은

$$I_2={\int }_{\text{unit ball}}\frac{d{r}_2^3}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=2\pi {\int }_0^1{r}_2^{2}d{r}_2{\int }_{-1}^1\frac{d\cos \theta }{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta }}$$ 먼저 $\cos \theta$ 적분을 하면,

$${\int }_{-1}^1\frac{d\cos \theta }{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta }}=\frac{|r_1+r_2|-|r_1-r_2|}{r_1{r}_2}$$절대값 기호를 풀기 위해서 $r_1$ 구간을 쪼개서 적분을 하면,

$$I_2=2\pi ({\int }_0^{r_1}\frac{2r_2^{2}d{r}_2}{r_1}+{\int }_{r_1}^{1}2r_{2}d{r}_2)=2\pi (1-\frac{1}{3}{r}_1^2)$$

적분 $I$는 $I_1$이 오직 radial 좌표에만 의존하므로 쉽게 구해진다.

$$I={\int }_{\text{unit ball}}{I}_{2}d{r}_1^3=4\pi {\int }_0^{1}2\pi (1-\frac{1}{3}{r}_1^2)r_1^{2}d{r}_1=\frac{32}{15}{\pi }^2$$

로 얻어지고, 거리역수의 평균은

$${⟨\frac{1}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}⟩}_{\text{unit ball}}=\frac{1}{B_1^2}{\iint }_{\text{unit ball}}\frac{d{r}_1^{3}d{r}_2^3}{|{\overrightarrow{r}}_1-{\overrightarrow{r}}_2|}=\frac{6}{5}$$

이 결과는 물리적인 상황을 이용하면 더 쉽게 구할 수 있다. 예를 들면 균일하게 대전된 전하구의 전기위치에너지는 그 전하구를 구성하는 점전하 사이의 전기위치에너지의 합인데, 두 점전하의 전기위치에너지가 사이거리의 역수에 비례하므로 전하구의 전기위치에너지를 구하면 거리역수의 평균을 구할 수 있다. 균일한 전하구의 전기위치에너지는 대칭성 때문에 위와 같은 복잡한 적분을 하지 않더라도 쉽게 구할 수 있다.

역으로, 전하 $Q$로 대전된 반지름 $R$인 전하구의 전기 위치에너지는 전하구에 포함된 미소점전하 사이의 전기위치에너지의 절반이므로 

$$U_C=\frac{1}{2}\sum _{i,j}\frac{k{q}_i{q}_j}{|{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j|}=\frac{k}{2}{Q}^2⟨\frac{1}{|{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_j|}⟩=k\frac{3}{5}\frac{Q^2}{R}$$로 쓰여짐을 알 수 있다.