단위원 내부점 사이의 평균 거리(mean distance between two points in a circular disk)

단위원에서 선택한 임의의 두 지점의 사이거리 $s$가 $0\le s\le 2$이 확률밀도함수는 

$$P(s)=\frac{1}{D_1^2}{\iint }_{\text{unit disk}}{d}^{2}r{d}^2{r}^{\prime }\delta (|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|-s),D_1=\pi$$

먼저

$$L(\overrightarrow{r},s)={\int }_{\text{unit disk}}{d}^2{r}^{\prime }\delta (|{\overrightarrow{r}}^{\prime }-\overrightarrow{r}|-s)$$

은 델타함수 제한조건 때문에 $\overrightarrow{r}$을 중심으로 한 반지름 $s$인 원과 단위원의 겹치는 영역의 경계의 길이를 의미함을 알 수 있다. 이 $L(\overrightarrow{r},s)$가 구해지면 $P(s)$는 이 값을 단위원에 대해 적분을 하면 되는데, 그 값은 단위원의 중심엣 $\overrightarrow{r}$가 거리에만 의존함을 쉽게 알 수 있다. 따라서 $\overrightarrow{r}$가, 예를 들면  $x$축 위에 있는 경우만 고려하면 충분하다. 또, $L(\overrightarrow{r},s)=L(|\overrightarrow{r}|=r,s)$이므로

$${\int }_{\text{unit disk}}{d}^{2}rL(r,s)=2\pi {\int }_0^{1}rdrL(r,s)$$

이제 $\overrightarrow{x}$을 중심으로 한 반지름 $s$인 원이 완전히 단위원에 포함이 되는 경우는 원과 단위원의 겹치는 영역이 반지름 $s$인 원이므로 

$$r+s<1\to L(r,s)=2\pi s$$

이고, 원호 일부가 단위원 밖으로 나가는 경우는 두 가지 경우(그림의 $\theta$가 예각 또는 둔각)를 생각할 수 있는데,

두 경우 모두 단위원과 겹치는 영역의 원호의 길이는 그림에서 $2(\pi -\theta )s$인데, $$\sin \phi =s\sin \theta ,\cos \phi -s\cos \theta =r$$

$$\to \cos \theta =\frac{1-r^2-s^2}{2rs}$$

$$r+s>1\to L(r,s)=2(\pi -\theta )s=2s(\pi -{\cos }^{-1}\frac{1-r^2-s^2}{2rs})$$

로 표현된다. 따라서 사이거리에 대한 확률밀돟함수는

$$P(s)=\frac{2\pi }{{\pi }^2}{\int }_0^{1}rdrL(r,s)$$$$=4s{\int }_0^{1-s}rdr+\frac{4s}{\pi }{\int }_{1-s}^{1}rdr(\pi -{\cos }^{-1}\frac{1-r^2-s^2}{2rs})$$

$$=\frac{4s}{\pi }{\cos }^{-1}\frac{s}{2}-\frac{2s^2}{\pi }\sqrt{1-\frac{s^2}{4}}$$

이 분포를 이용하면 단위원 내부에서 선택된 두 점간의 평균거리는

$$⟨|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|⟩={\int }_0^{2}P(s)sds=\frac{128}{45\pi }=0.9054$$

$$⟨|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2⟩={\int }_0^{2}P(s)s^{2}ds=1$$

$$⟨\frac{1}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}⟩={\int }_0^{2}P(s)\frac{1}{s}ds=\frac{16}{3\pi }$$