단위구에서 거리에 대한 확률밀도함수(distribution of distance in a unit ball)

이전 포스팅(https://kipl.tistory.com/731)에서 단위구에서 두 점 사이거리의 평균을 구하는 과정에서 사이거리에 대한 확률밀도함수를 소개하였고, 또 단위원에서 사이거리에 대한 확률밀도함수를 구체적으로 구했다. 이제 단위원에서의 기법을 이용해서 단위구에서 사이거리 분포에 대한 확률밀도함수를 구하자. 두 점의 사이거리 $s$의 확률밀도함수는

$$P(s)=\frac{1}{B_1^3}{\iint }_{\text{unit ball}}{d}^{3}r{d}^3{r}^{\prime }\delta (|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|-s),B_1=\frac{4\pi }{3}$$

로 쓰인다. 주어진 단위구 내부의 한 지점 $\overrightarrow{r}$에 대해서 적분은 $$S(\overrightarrow{r},s)={\int }_{\text{unit ball}}{d}^3{r}^{\prime }\delta (|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|-s)$$

는 $\overrightarrow{r}$에서 반지름 $s$인 구면이 단위구에 포함된 면적을 나타낸다. 그리고 이 값은 $\overrightarrow{r}$의 방향에 무관하게 단위구 중심에서 거리에만 의존함을 쉽게 알 수 있다, 즉 

$$S(\overrightarrow{r},s)=S(r,s)$$

이다. 따라서 $r+s$가 1보다 작을 때와 클 때 두 경우를 별도로 고려해야 한다. 작은 경우는 반지름 $s$인 구면이 완전히 단위구 내부에 포함되므로 

$$r+s<1S(r,s)=4\pi s^2$$

이고, 큰 경우는 (단위원의 경우 그림을 참조하면: https://kipl.tistory.com/732) $4\pi s^2$에서 단위구 밖으로 나가는 구면캡(spherical cap)의 면적을 제외하면 된다. 구면캡의 경도각 범위가 $\cos \theta =\frac{1-r^2-s^2}{2rs}$이므로 구면캡의 입체각은 

$$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega }=2\pi {\int }_0^{\theta }\sin \theta d\theta =2\pi (1-\frac{1-r^2-s^2}{2rs})=2\pi \frac{(r+s{)}^2-1}{2rs}$$

$$\to r+s>1S(r,s)=(4\pi -\mathrm{\Delta }\mathrm{\Omega })s^2=4\pi s^2\frac{1-(r-s{)}^2}{4rs}$$

따라서 사이거리에 대한 확률밀도함수는

$$P(s)=\frac{1}{B_1^2}4\pi {\int }_0^1{r}^{2}drS(r,s)$$

$$=\frac{1}{B_1^2}4\pi {\int }_0^{1-s}{r}^{2}dr(4\pi s^2)+\frac{1}{B_1^2}4\pi {\int }_{1-s}^1{r}^{2}dr\left(4\pi s^2\frac{1-(r-s{)}^2}{4rs}\right)$$

$$=\frac{3}{16}{s}^2(2-s{)}^2(4+s)$$

거리의 평균:

$$<s>={\int }_0^{2}P(s)sds=\frac{36}{35}$$

거리제곱의 평균:

$$<s^2>={\int }_0^{2}P(s)s^2=\frac{6}{5}$$

거리역수의 평균:

$$<\frac{1}{s}>={\int }_0^{2}P(s)\frac{1}{s}ds=\frac{6}{5}$$