Geometry & Recognition

$$\text{Cauchy-Schwartz Inequality:}~~|\mathbf{a}|^2 |\mathbf{b}|^2  \ge \left( \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} \right)^2$$

이 부등식을 간단한 물리법칙을 이용해서 증명하자. 우선 그림과 같이 $N$개의 축전기가 연결된 회로가 있다. 처음 축전기에는 각각 일정한 전하가 충전되어 있고, 회로를 연결하는 스위치는 모두 열린 상태이다.

각 축전기의 전기용량을 $C_i$, 충전된 전하를 $Q_i$라면 축전기에 양극판에 걸리는 전위차는 $V_i = Q_i /C_i$로 주어진다. 전하의 상대적인 부호에 따라 전위차도 +/- 부호를 가질 수 있다. 충전과정에서 축전기에는 에너지가 제공되므로 충전된 축전기는 에너지를 가진다. 각 축전기에 저장된 에너지가 $E_i = \frac{1}{2} Q_i V_i \ge0$이므로 축전기 회로에 저장된 총에너지는

$$ E_\text{initial} = \frac{1}{2} \sum Q_i V_i$$

이제 회로의 모든 스위치를 닫으면 각 축전기의 전위차 때문에 전하의 재분배가 발생하는 데 ($Q_i \to Q'_i$), 이 과정은 각 축전기의 전위차가 모두 같을 때까지( $V_i \to V_\text{eq}$) 일어난다. 물론 재분배 과정에서 회로의 저항때문에 에너지의 일부를 잃어버리지만 전하보존에 의해서 총전하량은 변함이 없어야 한다. 스위치를 닫았을 때 모든 축전기는 병렬연결이므로 등가전기용량은 $C_\text{eq} = \sum C_i = \sum Q_i/V_i $이므로 평형상태에서의 공통 전위차는 

$$ C_\text{eq} V_\text{eq} = Q_\text{total} = \sum Q_i$$

을 만족한다. 그리고 평형상태에 도달했을 때 축전기에 저장된 총 에너지를 스위치를 닫기 전 전하와 전위차로 표현하면

$$ E_\text{final} = \frac{1}{2} \sum Q'_i    V_\text{eq} = \frac{1}{2}\left(\sum Q_i \right) V_\text{eq}  = \frac{1}{2} \frac{\left( \sum Q_i \right)^2}{  C_\text{eq}} =\frac{1}{2} \frac{\left(\sum   Q_i \right)^2}{\sum Q_i/ V_i } $$

전하의 재분배 과정에서 에너지의 일부를 잃어버리므로 평형상태에서의 에너지는 항상 처음보다 클 수는 없다.

$$ E_\text{initial} \ge E_\text{final}$$

따라서

$$  \left( \sum Q_i V_i \right) \left( \sum \frac{Q_i}{V_i} \right) \ge \left( \sum Q_i \right)^2$$

축전기의 전기용량이 물리적으로 항상 양수이므로 전하와 전위차는 같은 부호를 가져야 한다. 따라서  $a_i^2 = Q_i V_i$, $b_i^2 = Q_i /V_i$로 놓으면 다음과 같은 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있다.

$$ \left(\sum a_i^2 \right) \left(\sum b_i^2 \right) \ge \left( \sum   a_i b_i \right)^2$$

여기서 등호는 축전기의 처음 전위차가 모두 같은 경우로 이때는 스위치를 닫아도 전류의 흐름이 생기지 않아 에너지의 손실이 발생할 수 없는 경우에 해당한다. 이 부등식은 전하보존법칙과 물리계가 평형에 이르는 과정에서 에너지적으로 가장 낮은 상태로 옳겨간다는 사실을 이용하여 증명하였다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Viviani%27s_theorem

정삼각형 내부 한 지점에서 세 변에 내린 수선의 길이 합은 항상 일정하다(역도 성립한다).  기본적인 물리법칙을 이용하면 이 사실을 쉽게 보일 수 있다. 같은 무게의 추가 달린 세 줄을 묶아 매듭을 만든 후 정삼각형의 각 변에 줄이 걸치도록 설치한다. 각 줄에 걸리는 추의 중력에 의한 장력이 같으므로 매듭을 기준으로 세 줄은 서로 120도의 각을 이룰 때 평형이 되어 더 이상 움직이지 않게 된다(Lami의 법칙). 120도 조건만 만족하면 힘의 평형상태이므로 매듭이 정삼각형의 어느 지점에 있더라도 움직이지 않게 된다. 그런데 평형상태는 중력 위치에너지가 가장 낮아지는 상태에 해당하고, 그 값은 삼각형의 아래로 늘어진 줄 길이의 합에 비례한다. 매듭의 위치가 바뀌면 각 줄의 늘어진 길이는 달라질 수 있지만 중력위치에너지는 변하지 않아야 하므로 그 합은 같아야 한다(추가: 수선 조건을 유지하면 매듭의 위치를 미소변위만큼 이동시킬 때 위치에너지 차이가 있다면 매듭에 힘이 작용한다는 의미이므로 평형조건에 위배된다. 힘은 위치에너지함수의 -gradient이기 때문이다). 그런데 각 줄의 길이가 고정되어 있으므로 삼각형 위쪽에 있는 줄의 길이의 합도 고정되어야  함을 알 수 있다. 이 줄의 합은 실제로 한 꼭짓점에서 내린 수선의 길이와 같음은 매듭이 한 꼭짓점에 접근할 때를 생각해 보면 쉽게 알 수 있다. 힘의 평형조건을 고려하면 역도 성립함을 쉽게 알 수 있다. 그리고 일반적인 등각다각형에 대해서도 성립한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point

삼각형의 세 꼭짓점에서 거리의 합이 최소인 점을 Fermat point라 한다. 이를 물리적인 방법을 동원해서 찾아보자. 같은 무게의 추가 매달린 세 개의 줄을 묶은 후 수평으로 놓인 삼각형의 꼭짓점에서 설치된 도르래에 걸친다. 추에 걸린 중력 때문에 세 줄이 묶인 매듭은 어느 정도 움직이다 결국에서는 평형상태(정지)가 될 것이다(정지하기 위해서는 공기 저항 등에 의해서 에너지 일부를 잃어버리는 과정이 있을 것이다). 이 평형상태는 에너지가 가장 낮은 상태로 움직임이 없는 경우에는 중력의 위치에너지가 최소가 되어야 한다. 그리고 중력 위치에너지가 최소가 되려면 도르래 아래로 늘어진 줄의 길이가 최대가 되어야 한다. 추를 묶은 줄의 길이가 일정하므로 매듭에서 꼭짓점까지의 거리의 합은 이때 최소가 될 것이다. 그리고 추의 무게가 모두 같으므로 줄에 걸린 장력도 같은 하는데, 힘의 평형상태가 되려면 매듭과 줄이 만드는 세 개의 각은 모두 120도가 되어야 한다(Lami 정리=사인 정리). 물론 삼각의 한 내각이 120도를 넘는 경우에는 힘의 평형에 도달하지 못하므로 매듭은 그 꼭짓점으로 향하게 된다. 즉, 이 경우 Fermat point는 내각이 120도를 넘는 꼭짓점이 된다.