Geometry & Recognition

막대의 오른쪽 끝 속도를 막대방향과 수직방향으로 분해하면 $v_\parallel=v \cos(30), v_\bot= v \sin (30) $으로 쓸 수 있고, 왼쪽 끝이 벽을 따라 내려오는 속도를 $v'$이라면 이 역시 막대방향과 수직방향으로 분해하면 $v'_\parallel= v' \cos(60), v'_\bot= -v' \sin (60)$이다. 막대는 강체이므로 막대방향 속도성분은 같다. $v'\cos(60)=v\cos(30)~\to~ v'=v/\sqrt{3}$. 따라서 막대는 중심에 대해서 양끝이 서로 반대방향으로 막대에 수직한 속도성분 $v/2$을 가지므로 반시계방향 회전각속도는 $v/L$임을 알 수 있다.

수평이 될 때 막대의 회전각속도는 역학적 에너지 보존에 의해

$$ mg \frac{L}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \frac{1}{3}mL^2 \omega^2~\longrightarrow~ \omega^2 = \frac{3g}{2L}$$

질량중심이 반지름 $L/2$인 원운동을 하므로 수평이 되었을 때 수평방향 힘(구심력)은 

$$ F_h = m \frac{L}{2} \omega^2 = \frac{3}{4}mg$$

또, 회전축에 대한 알짜 토크는 중력만 기여하므로 운동방정식에서 막대가 수평이 되었을 때 회전각가속도를 구할 수 있다.

$$ \tau = mg\frac{L}{2} = \frac{1}{3} mL^2 \alpha~\longrightarrow~ \alpha = \frac{3g}{2L}$$

이므로 질량중심 운동방정식의 수직성분을 쓰면

$$  mg - F_v = m a_t = m \frac{L}{2} \alpha  ~\longrightarrow ~F_v = \frac{1}{4}mg $$

따라서  회전축이 작용하는 힘은 $F = \sqrt{F_h^2 + F_v^2} = \frac{\sqrt{10}}{4}mg$.

수평방향의 외력이 없으므로 운동량이 보존된다. 처음 차가 움직이는 속도로 움직이는 좌표게에서 보면 총 운동량은 0이다. 공이 가장 아래에 내려왔을 때 차와 공의 속도(차와 같이 움직이는 계)를 각각 $v_1$, $v_2$라면 $u = v_2 - v_1$이고, $Mv_1  + mv_2 =0$이다. 따라서 $v_1 = - mu / (m+M)$, $v_2 = Mu / (m+M)$이다. 다시 지상계로 돌아가면 차의 속도는 $V + v_1 = V - mu /(m+M)$임을 알 수 있다. 

벽과의 탄성충돌이 있을 때 물체의 운동은 벽이 없을 때의 주기운동에서 $T/3 \le t \le 2T/3$ 구간(아래 그림의 붉은색 구간)이 없는 경우와 같다.