사다리가 무너지지 않을 최대 벌림각은?

경첩에 의해서 연결된 동일한 두 사다리를 그림과 같이 벌렸다. 바닥과 사다리 발 사이의 마찰계수가 $\mu$일 때 두 사라리의 사이각 $\theta$을 얼마나 크게 할 수 있을까?

 

1. $\sin \theta = \mu$
2. $\tan \theta = \mu$
3. $\tan \theta = 2\mu$
4. $\tan (\theta/2) =  \mu$
5. $\tan (\theta/2) = 2\mu$

한쪽 사다리에 작용한 마찰력은 다른쪽 사다리가 경첩을 통해 작용하는 (수평)힘을 지지한다. 한쪽 사다리에 대해서 토크평형 조건을 적용하면(사다리 질량 $M$, 길이 $L$, 경첩 기준)

$$f_s L \cos \frac{\theta}{2} = Mg \frac{L}{2} \sin \frac{\theta}{2}~\rightarrow~ f_s = \frac{1}{2} Mg \tan \frac{\theta}{2}$$

수직방향 힘평형에서 $Mg = F_N$이고, $f_s \le \mu F_N$이므로

$$ \tan \frac{\theta}{2} \le 2 \mu$$