두 별의 충돌 시간은?

같은 질량의 두 별이 일정한 거리만큼 떨어진 상태로 있다. 왼쪽 별은 고정된 상태에서 오른쪽 별만 중력에 이끌려 충돌할 때 걸리는 시간이 $T$ 이다. 만약 두 별이 중력에 의해 같이 움직인다면 충돌까지 걸리는 시간은?

1. $T/4$
2. $T/(2\sqrt{2})$
3. $T/2$
4. $T/\sqrt{2}$
5. $T$

 

 

고정된 별을 향해 움직이는 경우 거리 $r$만큼 떨어진 위치에서 속력을 $v$라 하자. 두 별이 같이 움직이는 경우는 중력 위치에너지의 감소량을 두 별이 나누어 가지므로 $r$만큼 떨어진 위치에서 속력은 $v/\sqrt{2}$이다. 따라서 한 별에 대한 상대속력은 $\sqrt{2}v$이므로 같은 거리를 가는데 $\sqrt{2}$배 만큼 더 빨리 도달한다.