사다리가 무너지지 않을 최대 벌림각은?

Physics/역학 2023. 11. 1. 20:12

경첩에 의해서 연결된 동일한 두 사다리를 그림과 같이 벌렸다. 바닥과 사다리 발 사이의 마찰계수가 $\mu$일 때 두 사라리의 사이각 $\theta$을 얼마나 크게 할 수 있을까?

 

  1. $\sin \theta = \mu$
  2. $\tan \theta = \mu$
  3. $\tan \theta = 2\mu$
  4. $\tan (\theta/2) =  \mu$
  5. $\tan (\theta/2) = 2\mu$
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한쪽 사다리에 작용한 마찰력은 다른쪽 사다리가 경첩을 통해 작용하는 (수평)힘을 지지한다. 한쪽 사다리에 대해서 토크평형 조건을 적용하면(사다리 질량 $M$, 길이 $L$, 경첩 기준)

$$f_s L \cos \frac{\theta}{2} = Mg \frac{L}{2} \sin \frac{\theta}{2}~\rightarrow~ f_s = \frac{1}{2} Mg \tan \frac{\theta}{2}$$

수직방향 힘평형에서 $Mg = F_N$이고, $f_s \le \mu F_N$이므로

$$ \tan \frac{\theta}{2} \le 2 \mu$$ 

 
 
 
 
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바닥에 던져진 볼링공이 정지하는 속도는

Physics/역학 2023. 10. 31. 16:11

각속도 $\omega$(시계 방향)로 회전하는 볼링공(반지름 $a$)이 수평속도 $v$(왼쪽 방향)로 바닥과 접촉을 한다. 이때 $v$의 크기에 따라 볼링공의 운동 양상은 달라지는데, 바닥과 접촉 이후 완전히 정지하는 경우도 생긴다. 속도 $v$가 얼마일 때 그렇게 되는가?

 

  1. $v= \frac{2}{5}a\omega$
  2. $v=\frac{2}{3}a\omega$
  3. $v=a\omega$

 

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마찰때문에 볼링공은 오른쪽 방향으로 충격량($J$)을 받는다. 볼링공의 병진운동이 멈추기 위한 충격량은 $J=mv$이다.  마찰은 회전운동에도 토크 충격량을 주는데, 회전이 멈추기 위한 조건은 $a J = I \omega$. 따라서 $v=\frac{I}{ma}\omega= \frac{2}{5} a \omega$. 마찰계수가 $\mu$일 때 정지할 때까지 걸리는 시간은 $t= v/(\mu g)$이다.

 
 
 
 
 
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두 별의 충돌 시간은?

Physics/역학 2023. 10. 31. 08:44

같은 질량의 두 별이 일정한 거리만큼 떨어진 상태로 있다. 왼쪽 별은 고정된 상태에서 오른쪽 별만 중력에 이끌려 충돌할 때 걸리는 시간이 $T$ 이다. 만약 두 별이 중력에 의해 같이 움직인다면 충돌까지 걸리는 시간은?

  1. $T/4$
  2. $T/(2\sqrt{2})$
  3. $T/2$
  4. $T/\sqrt{2}$
  5. $T$
 

 
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고정된 별을 향해 움직이는 경우 거리 $r$만큼 떨어진 위치에서 속력을 $v$라 하자. 두 별이 같이 움직이는 경우는 중력 위치에너지의 감소량을 두 별이 나누어 가지므로 $r$만큼 떨어진 위치에서 속력은 $v/\sqrt{2}$이다. 따라서 한 별에 대한 상대속력은 $\sqrt{2}v$이므로 같은 거리를 가는데 $\sqrt{2}$배 만큼 더 빨리 도달한다. 

 
 
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다시 정지하는데 걸리는 시간은

Physics/역학 2023. 10. 30. 12:01

길이가 $D$인 가벼운 막대로 연결된 두 물체가 마찰이 없는 평면에 놓여있다. $t=0$일 때 막대에 수직방향의 충격을 주어 $m_1$이 속력 $v$로 운동을 시작하게 만들었다. 이 순간 $m_2$는 정지상태에 있다. 이후 $m_2$의 속도가 다시 0이 되는데 걸리는 최소 시간은?  

 
 

 

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충격 이후 외력이 없으므로 두 물체의 질량중심은 일정한 속도 $v_{cm} =  \frac{m_1}{m_1+m_2} v$로 움직이고, 두 물체는 질량중심을 기준으로 일정한 각속도 $v/D$로 회전한다. 질량중심과 같은 속도로 움직이는 관찰자가 보면 두 물체는 질량중심을 축으로 일정하게 회전한다. 두 물체가 출발시점과 동일한 상대적 위치를 가지면 $m_2$의 속도는 0이 됨을 알 수 있고, 이 때까지 걸리는 시간은 질량중심을 축으로 1회전하는데 걸리는 시간 $t=2\pi/(v/D)=2\pi D /v$이다.

 
 

 

 
 
 
 
 
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용수철 저울의 눈금은?

Physics/역학 2023. 10. 30. 10:55

그림과 같은 장치가 평형상태일 때  위쪽 용수철 저울의 눈금은 30N, 아랫쪽은 20N이 나온다. 만약 아래 저울을 밑으로 당겨 눈금이 30N이 되게 만들면 위쪽 저울의 눈금은 어떻게 변할까? 

 

  1. 35 N
  2. 40 N
  3. 50 N
  4. 60 N
 
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