별의 질량이 감소할 때 행성의 공전주기는?

어느 별 주위의 원궤도를 공전하는 한 행성이 있다. 오랜 기간 동안의 에너지 방출로 인해 별의 질량이 처음보다 1% 정도 감소했다. 행성의 공전주기는 어떻게 변할까?

1. 약 2% 감소
2. 약 1% 감소
3. 그대로
4. 약 1% 증가
5. 약 2% 증가

반지름 $r$인 원궤도를 도는 행성(질량: $m$)의 각운동량 $L=mvr$은 보존이 된다. 또, 원궤도인 경우 운동방정식이 $m{v}^2/r=GMm/r^2$이다. 따라서 별의 질량이 $M\propto v^{2}r\propto L^2/r$이므로 $Mr=\text{const}$이다. 공전주기는 $T\propto r/v\propto r^2/L\propto 1/M^2$이므로 $\mathrm{\Delta }T/T=-2\mathrm{\Delta }M/M$이다. 따라서 $M$이 1% 감소하면 $T$는 2% 정도 증가한다.