막대의 회전 각속도는?

그림처럼 벽에 기대어 미끄러지고 있는 막대가 수평과 ${30}^{\circ }$ 각을 이루는 순간  오른쪽 끝이 바닥을 따라 움직이는 속도가 $v$다. 이 순간 막대의 회전각속도는?

1. $2v/L$
2. $v/L$
3. $2v/(\sqrt{3}L)$
4. 정보 부족

 

 

막대의 오른쪽 끝 속도를 막대방향과 수직방향으로 분해하면 $v_{\parallel }=v\cos (30)$, $v_{\mathrm{\perp }}=v\sin (30)$으로 쓸 수 있고, 왼쪽 끝이 벽을 따라 내려오는 속도를 $v^{\prime }$이라면 이 역시 막대방향과 수직방향으로 분해하면 $v_{\parallel }^{\prime }=v^{\prime }\cos (60)$, $v_{\mathrm{\perp }}^{\prime }=-v^{\prime }\sin (60)$이다. 막대는 강체이므로 막대방향 속도성분은 같다. $$v^{\prime }\cos (60)=v\cos (30)\to v^{\prime }=\sqrt{3}v$$ 위쪽을 A, 아래쪽을 B라면 

$${\overrightarrow{v}}_A=-\sqrt{3}v\hat{j},{\overrightarrow{v}}_B=v\hat{i}$$이므로

$${\overrightarrow{v}}_{cm}=\frac{1}{2}({\overrightarrow{v}}_A+{\overrightarrow{v}}_B)=\frac{v}{2}(\hat{i}-\sqrt{3}\hat{j})$$

그런데 질량중심에서 A까지 변위가 ${\overrightarrow{r}}_A=-\frac{\sqrt{3}L}{4}\hat{i}+\frac{L}{4}\hat{j}$이므로$${\overrightarrow{v}}_A={\overrightarrow{v}}_{cm}+\overrightarrow{\omega }\times {\overrightarrow{r}}_A$$로 표현됨을 이용하면 $$\omega =\frac{2v}{L}$$

다른 방법으로는 이 순간 막대는 위치 $(\frac{\sqrt{3}L}{2},\frac{L}{2})$을 기준으로 순간적으로 회전을 한다. 이 점에서 B까지 거리가 $L/2$이므로 $v_B=\frac{L}{2}\omega$에서 $\omega =\frac{2v}{L}$임을 얻을 수 있다.