회전축에 걸리는 힘은?

균일한 막대가 수평에 대해 $30^\circ$ 기울어진 상태에서 운동을 시작한다. 막대가 수평이 되었을 때 회전축에 걸리는 힘의 크기는?

1. $\frac{1}{4} mg$
2. $\frac{3}{4} mg$
3. $mg$
4. $\frac{\sqrt{10}}{4} mg$

 

 

수평이 될 때 막대의 회전각속도는 역학적 에너지 보존에 의해

$$ mg \frac{L}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \frac{1}{3}mL^2 \omega^2~\longrightarrow~ \omega^2 = \frac{3g}{2L}$$

질량중심이 반지름 $L/2$인 원운동을 하므로 수평이 되었을 때 수평방향 힘(구심력)은 

$$ F_h = m \frac{L}{2} \omega^2 = \frac{3}{4}mg$$

또, 회전축에 대한 알짜 토크는 중력만 기여하므로 운동방정식에서 막대가 수평이 되었을 때 회전각가속도를 구할 수 있다.

$$ \tau = mg\frac{L}{2} = \frac{1}{3} mL^2 \alpha~\longrightarrow~ \alpha = \frac{3g}{2L}$$

이므로 질량중심 운동방정식의 수직성분을 쓰면

$$  mg - F_v = m a_t = m \frac{L}{2} \alpha  ~\longrightarrow ~F_v = \frac{1}{4}mg $$

따라서  회전축이 작용하는 힘은 $F = \sqrt{F_h^2 + F_v^2} = \frac{\sqrt{10}}{4}mg$.