회전축에 걸리는 힘은?

균일한 막대가 수평에 대해 ${30}^{\circ }$ 기울어진 상태에서 운동을 시작한다. 막대가 수평이 되었을 때 회전축에 걸리는 힘의 크기는?

1. $\frac{1}{4}mg$
2. $\frac{3}{4}mg$
3. $mg$
4. $\frac{\sqrt{10}}{4}mg$

 

 

수평이 될 때 막대의 회전각속도는 역학적 에너지 보존에 의해

$$mg\frac{L}{2}\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}\frac{1}{3}m{L}^2{\omega }^2⟶{\omega }^2=\frac{3g}{2L}$$

질량중심이 반지름 $L/2$인 원운동을 하므로 수평이 되었을 때 수평방향 힘(구심력)은 

$$F_h=m\frac{L}{2}{\omega }^2=\frac{3}{4}mg$$

또, 회전축에 대한 알짜 토크는 중력만 기여하므로 운동방정식에서 막대가 수평이 되었을 때 회전각가속도를 구할 수 있다.

$$\tau =mg\frac{L}{2}=\frac{1}{3}m{L}^2\alpha ⟶\alpha =\frac{3g}{2L}$$

이므로 질량중심 운동방정식의 수직성분을 쓰면

$$mg-F_v=m{a}_t=m\frac{L}{2}\alpha ⟶F_v=\frac{1}{4}mg$$

따라서  회전축이 작용하는 힘은 $F=\sqrt{F_h^2+F_v^2}=\frac{\sqrt{10}}{4}mg$.