Geometry & Recognition

경사면에서 마찰도 없다면 물체가 받는 힘은 중력과 수직항력뿐이다. 이 수직항력의 반작용 때문에 경사면은 밀려나게 된다. 수평 방향을 $x$-축, 수직 방향을 $y$-축으로 잡고 FBD을 이용해서 물체와 경사면의 운동 방정식을 쓰면, 경사면을 내려오는 물체의 가속도는

$$\begin{array}{rl}\sum F_x& =N\sin \theta =m{a}_x,\\ \sum F_y& =N\cos \theta -mg=m{a}_y.\end{array}$$

경사면은 수평 방향 운동만 가능하므로 수평 가속도는

$$\sum F_x=-N\sin \theta =M{a}_X.$$

물체가 경사면에서만 움직이므로 $x_1$, $y_1$, $x_2$가 완전히 독립적일 수 없다:

$$\tan \theta =\frac{y_1}{x_2-x_1}=\text{const}⟶{\ddot{y}}_1=({\ddot{x}}_2-{\ddot{x}}_1)\tan \theta$$ $$\text{or}{a}_y=(a_X-a_x)\tan \theta .$$

수직항력 $N$, 물체의 수평/수직 가속도 $a_x={\ddot{x}}_1$, $a_y={\ddot{y}}_1$, 그리고 경사면의 수평 가속도 $a_X={\ddot{x}}_2$에 대한 4개의 식이 주어졌다. 이것을 풀면(연립 방정식이므로 쉽다).

$$\begin{array}{c}N=mg\frac{\cos \theta }{1+\frac{m}{M}{\sin }^2\theta },\\ a_x=g\frac{\sin \theta \cos \theta }{1+\frac{m}{M}{\sin }^2\theta },a_y=-g\frac{(1+\frac{m}{M}){\sin }^2\theta }{1+\frac{m}{M}{\sin }^2\theta },\\ a_X=-g\frac{\frac{m}{M}\sin \theta \cos \theta }{1+\frac{m}{M}{\sin }^2\theta }\end{array}$$

을 얻는다. 수평 방향이나 수직 방향 운동 모두 등가속도이다.

$M\gg m$인 경우를 보면, 경사면이 고정되어 있을 때 수직항력과 같음을 알 수 있다: $N\to mg\cos \theta$.

물체는 직선의 경로를 따라 내려가는데 그 각도는

$$\tan \varphi =\frac{|a_y|}{|a_x|}=(1+\frac{m}{M})\tan \theta =\text{const}$$

이므로 경사면의 각보다 더 크다. 이는 경사면이 왼쪽으로 밀리기 때문이다.

1. 경사면과 같이 움직이는 관찰자가 볼 때 물체가 내려가는 가속도는?
2. 다 내려왔을 때 물체와 경사면의 속력은?
3. 다 내려왔을 때 물체와 경사면은 처음 수평 위치에서 얼마나 벗어났는가?

운동 방정식을 직접적으로 사용하지 않고 두 질문을 해결하는 방법은?

어려운 설명을 볼 수 있는 동영상:

youtu.be/xzKPlY4 Dnrw