Geometry & Recognition

고정 도르래의 질량을 무시할 수 있으므로 양쪽 줄의 장력은 같아야 한다: $T$.

따라서 물체와 요요의  질량중심의 운동은 동일해야 한다. $\sum F_y=mg-T=ma(\text{내려가는 방향=+})$

즉, 물체와 요요는 동시에 바닥에 닿는다. 물체와 요요가 내려가는 가속도는 얼마인가?

요요의 시계 방향 회전 각가속도가 $\alpha$이면 중심축에 대한 회전 운동 방정식은 $\sum {\tau }_{cm}=TR=I\alpha$.

물체와 요요의 중심이 내려간 거리의 합은 요요에 감긴 줄이 풀린 길이와 같다: $2y=R\theta$.

이를 두 번 미분하면 $2a=R\alpha$

따라서 $T$, $\alpha$을 소거하면 

$$a=\frac{g}{1+2I/m{R}^2}$$

요요에 연결된 줄의 한 지점을 표시하면 이 지점의 가속도는 위쪽으로 왼쪽 물체가 내려가는 가속도 크기를 가진다.

중간 그림: 실패의 회전관성을 $I=\gamma m{R}^2$이라고 하면 일반적으로 $0<\gamma \le 1$이다. 마찰력의 방향이 반드시 중심의 이동과 반대로 작용하지 않으므로 사전에 마찰력의 방향을 바로 결정할 수 없다. 물체가 미끄러짐이 없이 구르는 경우는 다른 방법으로 마찰력을 결정할 수 있는 좋은 방법이 있다. 구르는 경우는 접촉점에 대한 순간적인 회전운동으로도 설명된다. 이 경우 마찰력은 토크에 기여하지 않으므로 실패의 운동식은

$$I_{contact}\alpha =\sum {\tau }_{contact}=T(R-b),(b=\text{radius of inner cyliner})$$

따라서 물체의 질량중심 가속도는 $({\tau }_{contact}=(1+\gamma )m{R}^2)$ 

$$a=R\alpha =\frac{1-b/R}{1+\gamma }\frac{T}{m}<\frac{T}{m}$$

질량중심의 가속도를 결정하는 외력은 장력과 마찰력인데, 장력만 고려할 때 가속도 $\frac{T}{m}$보다 작으므로 마찰력은 장력과 반대방향이어야 한다.