4개의 회전체가 경사면 위 같은 높이에서 출발한다. 미끄러짐이 없는 경우 바닥에 먼저 도착하는 물체는?
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오른쪽 물체를 일정한 힘 $F$로 당기면 용수철은 얼마까지 늘어날 수 있을까? 단, 당기기 시작할 때 두 물체는 정지상태이고 용수철은 늘어나거나 압축되지 않았다.
1. $F/4k$
2. $F/2k$
3. $F/k$
4. $2F/k$
5. 용수철이 끊어지기 전까지 늘어날 수 있다.
두 물체의 질량중심 좌표계에서 일-에너지 정리를 사용해도 되지만, 직접 운동 방정식을 푸는 방법을 사용하면
$$m \ddot{x}_1 = -k (x_1 - x_2), \quad m\ddot{x}_2 = - k (x_2 - x_1) +F.$$
두 물체의 상대좌표 $x=x_2 -x_1$에 대한 방정식은
$$ \ddot{x}= - \frac{2k}{m} x + \frac{F}{m}.$$
용수철의 자연 길이가 $\ell_0$면 이 방정식의 해는 ($x(0)=\ell_0,~\dot{x}(0)=0$)
$$ x(t) = \ell_0 + \frac{F}{2k}(1- \cos (\sqrt{\frac{2k}{m}}t))$$
이므로 $\max(|x-\ell_0|)= F/k$.
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천장에 연결된 줄이 끊긴 직후 위쪽 물체의 가속도는?
1. $0$
2. $g/2$
3. $g$
4. $\sqrt{2}g$
5. $2g$
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용수철로 연결된 두 물체를 그림처럼 세워두면 위쪽 물체의 무게 때문에 용수철이 약간 압축이 된다. 이 상태에서 손으로 밀어 좀 더 압축한 후 손을 떼면 위쪽 물체가 위로 솟구쳐 오르게 되는데 압축이 많이 된 경우에는 아래쪽 물체까지 바닥에서 떨어지는 경우가 있다. 얼마나 압축하면 그럴까?
손으로 누르기 전에는 위쪽 물체의 무게 때문에 용수철은 원래 길이에서 $mg/k$만큼 아래로 압축이 된다. 여기에 추가로 $A$만큼 누른 후 손을 떼면 위쪽 물체는 처음 압축 위치를 기준으로 위-아래로 진동을 한다. 아래 물체가 받는 힘은 자체 무게, 용수철이 누르거나 당기는 힘 그리고 바닥이 주는 수직항력이다. 아래 물체가 바닥에서 떨어지지 않으려면 수직항력이 0보다 커야 한다. 중력은 항상 일정하므로 수직항력이 가장 작아지는 경우는 용수철이 원래의 길이보다 늘어나는 경우로 위쪽 물체가 최고 높이에 있을 때이다. 바닥에서 떨어지지 않는 경우 아래 물체에 작용하는 알짜힘 = 0 이므로
\begin{gather}\sum F_y = F_N -mg + k(A-mg/k)=0 \\ F_N = 2mg - kA \\ F_N > 0 \quad\rightarrow \quad A < {2mg}/{k}\end{gather}
따라서 아래 물체가 바닥에서 떨어질 조건은 $A\ge 2mg/k$.
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고정 회전축에 걸린 원판 둘레에 실이 감겨있고 실끝에 연결된 물체는 속도 $v$로 움직인다. 실이 팽팽해지는 순간 물체의 속력은?
1. $v/2$
2. $v/3$
3. $2v/3$
3. 정보부족
추의 속력은?
높은 천정에 고정된 5 미터 줄의 반대편 끝에 추를 매달고 그림과 같은 위치에서 낙하시킨다. 줄이 팽팽해지는 직후 추의 속력은(m/s)? 1. $\sqrt {8g}$ 2. $\sqrt {10g}$ 3. $\frac {3}{5}\sqrt {8g}$ 4. $\frac..
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